Considere a função f ( x , y ) = 2 x + x e x y e P ( 2,0 ) .

c ) Podemos afirmar que, em P ( 0,2 ) , existe direção em que a taxa de variação da função é igual a 5 ?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos deu a seguinte função

f ( x , y ) = 2 x + x e x y

e pede para verificarmos se é possível que no ponto P ( 0,2 ) , existe uma direção em que a taxa de variação da função é igual a 5 . A pergunta pode ser traduzida matematicamente como, existe um vetor tal qual a derivada direcional é igual a 5 , ou seja

D v f ( 0,2 ) = ∑ j = 1 n ∂ f ∂ x j | ( 0,2 ) v j = 5

na alternativa ( a ) desta mesma questão já tínhamos calculado que

∂ ∂ x f ( x , y ) = 2 + e x y ( 1 + x y ) e ∂ ∂ y f ( x , y ) = x 2 e x y

Usando a definição e estes resultados! Vamos resolver essa questão!

Passo 2

O somatório da definição pode ser expandido como

D v f ( 0,2 ) = ∑ j = 1 n ∂ f ∂ x j | ( 0,2 ) v j = ∂ f ( 0,2 ) ∂ x v x + ∂ f ( 0,2 ) ∂ y v y

em que o vetor que desehamos v → = ( v x , v y ) , e calculando

∂ ∂ x f ( 0,2 ) = 2 + e ( 0 ) ( 2 ) ( 1 + ( 0 ) ( 2 ) ) = 3 e ∂ ∂ y f ( 0,2 ) = ( 0 ) 2 e ( 0 ) ( 2 ) = 0

podemos escrever que

D v f ( 0,2 ) = ∂ f ( 0,2 ) ∂ x v x + ∂ f ( 0,2 ) ∂ y v y = ( 3 ) v x + ( 0 ) v y

ou seja, precisamos encontrar qualquer vetor que obedeça

D v f ( 0,2 ) = 3 v x = 5

ou seja, não só podemos achar uma direção, temos uma infinidade de direções da forma

v → = ( 5 / 3 , v y )

já que no ponto P ( 0,2 ) , qualquer ponto com v x = 5 / 3 , tem derivada direcional igual a 5 . A resposta é SIM! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

SIM

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas