Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Origem do Exercício

Considere a função f x , y = y . ln ⁡ x + x . e y .

Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F):

( ) A derivada da função f ( x , y ) em P ( 1,0 ) na direção do vetor v = i ^ - j ^ é nula.

( ) A função f ( x , y ) aumenta mais rapidamente na direção do vetor u = i ^ + j ^ .

( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função é 2 .

( ) A taxa da variação da função é 2 1 / 2 .

( ) A reta tangente à curva f ( x , y ) no ponto P 1,0 é y = x - 1 .

  1. (1) V (2) V (3) V (4) V (5) F
  2. (1) F (2) V (3) V (4) V (5) F
  3. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) V
  4. (1) V (2) V (3) F (4) V (5) F
  5. (1) V (2) V (3) V (4) F (5) F

Passo 1

Vamos analisar uma afirmação de cada vez. Começando pela primeira: qual é a derivada da função em P ( 1,0 ) na direção do vetor v = i ^ - j ^ .

Ok, estamos falando de derivadas direcionais, ou seja, derivadas calculadas na direção de um vetor específico. Vamos lembrar como se calcula uma derivada desse tipo.

A derivada direcional de f , na direção de v → , é:

d f d s v → = ∇ f   .     v →

Na direita, estamos fazendo o produto escalar de dois vetores: o gradiente da função, e o vetor v → .

O enunciado já deu o vetor v → :

i ^ - j ^ = 1,0 - 0,1 = ( 1 , - 1 )

Mas falta calcular o gradiente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O vetor gradiente de uma função no plano segue essa fórmula aqui:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Vamos calcular essas derivadas:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y . ln ⁡ x + x . e y = ∂ ∂ x y . ln ⁡ x + ∂ ∂ x x . e y

Lembre-se de que, quando derivamos em relação a x , o y se comporta como uma constante:

∂ f ∂ x = y   ∂ ∂ x ln ⁡ x + e y   ∂ ∂ x x

∂ f ∂ x = y x + e y

E podemos fazer quase a mesma coisa para calcular a outra derivada parcial:

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y y . ln ⁡ x + x . e y =   ln ⁡ x ∂ ∂ y y + x ∂ ∂ y e y

∂ f ∂ y = ( ln ⁡ x + x e y )

Ok, então nosso vetor gradiente é:

∇ f = y x + e y   ,   ln ⁡ x + x e y

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar desse gradiente com o vetor que o enunciado deu. Lembra como se calcula um produto escalar?

x 1 , y 1 . x 2 , y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2

Então:

d f d s v → = y x + e y   ,   ln ⁡ x + x e y   .     1 , - 1

d f d s v → = y x + e y - ln ⁡ x - x e y

d f d s v → = y x - ln ⁡ x + e y ( 1 - x )

E calculando isso no ponto P ( 1,0 ) :

d f d s v → = y x - ln ⁡ x + e y 1 - x = 0 1 - ln ⁡ 1 + e 0 1 - 1 = 0

Então a primeira afirmação é verdadeira!

Passo 4

A segunda afirmação é que essa mesma função cresce mais rapidamente na direção do vetor u = i + j = 1,0 + 0,1 = ( 1,1 ) .

Bom, agora nós já sabemos calcular a derivada direcional, e já temos o gradiente. Vamos supor também que a questão está se referindo ao mesmo ponto P ( 1,0 ) da afirmação anterior.

A derivada direcional é:

d f d s u → = ∇ f   .     u →

Substituindo o gradiente que nós já calculamos e o vetor que o enunciado deu:

d f d s u → = y x + e y   ,   ln ⁡ x + x e y   .   ( 1,1 )

Agora fazemos o produto interno:

d f d s u → = y x + e y + ln ⁡ x + x e y

d f d s u → = y x + e y ( 1 + x ) + ln ⁡ x

E agora é só substituir no ponto P ( 1,0 ) :

d f d s u → = 0 1 + e 0 1 + 1 + l n ⁡ ( 1 )

Como o ln ⁡ 1 = 0 e e 0 = 1 , a derivada direcional nesse ponto é:

d f d s u → = 2

Que de fato é maior do que o 0 que achamos no item anterior, isso quer dizer que essa afirmativa é verdadeira.

Passo 5

A terceira afirmativa parece correta, já que acabamos de calcular uma derivada direcional que resultou em 2 .

Entretanto, se formos bastante exigentes, veremos que não é correto dizer que a taxa de variação é 2 em uma direção. O 2 que nós achamos é a taxa de variação em uma direção NO PONTO P ( 1,0 ) , o valor pode perfeitamente ser diferente em outros pontos naquela mesma direção!

Então essa afirmativa é falsa.

Passo 6

A quarta alternativa também tem uma formulação estranha, mas vamos novamente supor que está se referindo ao ponto P ( 1,0 ) .

Nesse caso, “taxa de variação da função” pode se referir ao módulo do vetor gradiente nesse ponto (apesar de ser uma nomenclatura pouco comum). Na verdade, já que a afirmativa não especifica uma direção em que deveríamos calcular essa taxa, essa é a única opção que temos.

Já calculamos o vetor gradiente dessa função:

∇ f = y x + e y   ,   ln ⁡ x + x e y

Se calcularmos esse vetor no ponto P ( 1,0 )

∇ f = 0 1 + e 0   ,   ln ⁡ 1 + ( 1 ) e ( 0 ) = 0 + 1,0 + 1 = ( 1,1 )

E como calculamos o módulo de um vetor?

( a , b ) = a 2 + b 2

Usando essa fórmula no vetor gradiente:

( 1,1 ) = 1 2 + 1 2 = 2 = 2 1 / 2

Ou seja, a quarta afirmativa é verdadeira!

Passo 7

A última afirmação diz que a reta tangente à curva f ( x , y ) no ponto P ( 1,0 ) é y = x - 1 .

Essa afirmação tem o mesmo problema da terceira! Não é específica o suficiente. Como estamos falando de uma superfície, existem infinitas retas tangentes a cada ponto, que formam o famoso plano tangente.

Dê uma olhada no que encontramos quando fazemos o gráfico da f ( x , y ) :

Portanto, a última afirmativa é falsa.

Resposta

Letra (d).

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