3 - Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor u → :

b) f x , y = x y z , P = 2 , - 1 , - 2 , u = 1,2 , - 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Essa questão parece difícil? Relaxa, ela é mais simples do que parece. Temos que calcular a derivada direcional de f , no ponto P e na direção do vetor u .

Derivada direcional? O que é isso?? 🤔🤔

A derivada direcional de uma função de várias variáveis diferenciável ao longo de um dado vetor  u →  em um dado ponto  P  intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função.

Beleza, sabemos pra que serve uma derivada direcional, mas como vamos calcula-la?? 🤔

Existe uma formulinha para se calcular a derivada direcional de uma função, em um ponto e em uma determinada direção. Dada por

D u f a , b , c = ∂ f a , b , c ∂ x , ∂ f a , b , c ∂ y , ∂ f a , b , c ∂ z · u → u →

A derivada direcional será o produto interno do gradiente de f no ponto P com o vetor u → unitário. a e b são as coordenadas do ponto P .

Entendeu tudo? Podemos por a mão na massa então!

Passo 2

Vamos construindo nosso probleminha parte a parte. Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de f .

Podemos usar uma propriedade que diz: o produto das raízes é igual a raízes do produto, isso quer dizer que

x y z = x y z

Fazemos essa mudança para ficar mais fácil a visualização das derivadas.

A derivada parcial com relação a x é

∂ f ∂ x = ∂ x y z ∂ x

y e z se comportam como constantes e a derivada de uma raiz é dada como

y z ∂ x ∂ x = ∂ x 1 2 ∂ x = 1 2 · x 1 2 - 1 = 1 2 · x - 1 2 = y z 1 2 x

Com isso

∂ f ∂ x = y z 2 x

A derivada parcial de f com relação a y é

∂ f ∂ y = ∂ x y z ∂ y

x e z se comportam como constantes e a derivada de uma raiz é dada como

x z ∂ y ∂ y = ∂ y 1 2 ∂ y = 1 2 · y 1 2 - 1 = 1 2 · y - 1 2 = x z 1 2 y

Com isso

∂ f ∂ y = x z 2 y

Já a derivada parcial de f com relação a z é

∂ f ∂ z = ∂ x y z ∂ z

x e y se comportam como constantes e a derivada de uma raiz é dada como

x y ∂ z ∂ z = ∂ z 1 2 ∂ z = 1 2 · z 1 2 - 1 = 1 2 · z - 1 2 = x y 1 2 z

Com isso

∂ f ∂ z = x y 2 z

Tranquilo até aqui?

Passo 3

O próximo passo é substituir as coordenadas do ponto P = 2 , - 1 , - 2 nas derivadas parciais, onde substituímos x por 2 , y por - 1 e z por - 2 .

∂ f 2 , - 1 , - 2 ∂ x = - 1 - 2 2 2

Não podemos ter - 1 , então temos que descobrir uma forma de elimina-la da nossa fração.

Pra isso podemos escrever - 2 como - 1 2 , dessa forma, podemos eliminar a raiz - 1 , veja só

- 1 - 1 2 2 2 → - 1 1 2 - 1 1 2 2 2 2 → - 1 1 2 + 1 2 2 2 2 → - 1 2 2 2 → - 1 2

Podemos aplicar a propriedade que diz que quando temos potencias de bases igual, repetimos as bases e somamos as potências.

∂ f 2 , - 1 , - 2 ∂ x = - 1 2

Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial com relação a y

∂ f 2 , - 1 , - 2 ∂ y = 2 - 2 2 - 1

Para eliminar nossa raiz de numero negativos, podemos fazer o seguinte

2 - 2 2 - 1 = 2 - 1 2 2 - 1

Escrevemos - 2 como - 1 2 , assim podemos cortar - 1 do numerador e do denominador

2 - 1 2 2 - 1 = 2 2 2 = 2 1 2 + 1 2 2 = 1

Ou seja

∂ f 2 , - 1 , - 2 ∂ y = 1

Agora repetimos com a derivada parcial de z

∂ f 2 , - 1 , - 2 ∂ z = 2 - 1 2 - 2

Escrevendo - 2 como - 1 2 no denominador, temos

2 - 1 2 - 1 2 = 2 - 1 2 - 1 2 = 2 2 2 = 1 2

Simplificamos a fração cortando - 1 do numerador e do denominador, logo depois fizemos o mesmo com 2 . Dessa forma resultando em

∂ f 2 , - 1 , - 2 ∂ z = 1 2

Difícil?

Passo 4

O próximo passo é calcular o vetor u em sua forma unitária. Sabe calcular um vetor unitário?

Um vetor qualquer em sua forma unitária é basicamente ele dividido pelo seu módulo, ou seja, ele dividido pelo seu tamanho.

O modulo do vetor u é calculado pela raiz da soma das suas coordenadas ao quadrado, ou seja

u = 1 2 + 2 2 + - 2 2

u = 9

u = 3

u unitário então será

u u = 1,2 , - 2 3

u u = 1 3 , 2 3 , - 2 3

Por fim, substituímos os resultados que encontramos na formulinha que vemos no início.

D u f a , b , c = ∂ f a , b , c ∂ x , ∂ f a , b , c ∂ y , ∂ f a , b , c ∂ z · u → u →

D u f 2 , - 1 , - 2 = - 1 2 , 1 , 1 2 · 1 3 , 2 3 , - 2 3

Resta calcular o produto interno desses dois vetores, lembra como fazemos isso?

O produto interno é calculado somando o produto de cada coordenada, por exemplo, x com x , y com y e z com z .

D u f 2 , - 1 , - 2 = - 1 2 · 1 3 + 1 · 2 3 + 1 2 · - 2 3

D u f 2 , - 1 , - 2 = - 1 6 + 2 3 - 2 6

D u f 2 , - 1 , - 2 = 1 6

Encontramos nossa derivada direcional de f , no ponto P e na direção u como 1 / 6 !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

D u f 2 , - 1 , - 2 = 1 6

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas