Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Derivadas Direcionais

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável no ponto ( 1,2 ) . Sabendo que a derivada direcional de f no ponto ( 1,2 ) , segundo a direção do vetor ( 1,1 ) , é 2 , e que f x 1,2 = 3 , quanto vale f y ( 1,2 ) ?

(a) 2 - 3

(b) 2 3

(c) 2 - 3 2

(d) - 1

(e) a informação é insuficiente

Passo 1

Ele nos deu que a derivada direcional de f no ponto 1,2 é 2 , na direção do vetor ( 1,1 ) .

Vamos primeiro lembrar a fórmula da derivada direcional de uma função f na direção de um vetor u → em um ponto P 0 :

∂ f ∂ u → = ∇ f P 0 ⋅ u → u →

Nessa questão vamos ter

u → = 1,1

⇒   u → = 1 2 + 1 2 = 2

P 0 = 1,2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show! Então temos

∇ f 1,2 ⋅ 1,1 1,1 = 2

⇒   f x 1,2 , f y 1,2 ⋅ 1,1 2 = 2

⇒     3 , f y 1,2 ⋅ 1 2 , 1 2 = 2

⇒   3 2 + f y 1,2 2 = 2

Multiplicando por 2 dos dois lados:

3 + f y 1,2 = 2

⇒ f y 1,2 = 2 - 3 = - 1

Resposta

Alternativa (d)

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