4. Uma partícula atraída pelo calor tem a propriedade de, em qualquer ponto x , y no plano, mover-se na direção de máximo aumento da temperatura. Se, num determinado local, a temperatura é dada pela função T x , y = - e - 2 y cos ⁡ x para cada posição x , y , determine a direção em que uma partícula na posição π 4 , 1 segue se ela é atraída pelo calor.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão temos que obter o vetor direção em que a função temperatura T x , y = - e - 2 y cos ⁡ x mais cresce no ponto π 4 , 1 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema temos que lembrar de alguns conceitos de derivadas direcionais...

Um desses conceitos diz que o vetor que aponta para o maior crescimento de uma função tem a mesma direção e sentido do vetor gradiente dessa função.

Portanto o que temos que fazer é obter o vetor gradiente de f e aplicar o ponto π 4 , 1 ...

O vetor gradiente de uma função é obtido a partir das derivadas parciais dessa função, ou seja

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de T com relação a x

T x = ∂ - e - 2 y cos ⁡ x ∂ x = - e - 2 y ∂ cos ⁡ x ∂ x

T x = - e - 2 y - sin ⁡ x

T x = e - 2 y sin ⁡ x

Agora calculamos a derivada parcial de T com relação a y

T y = ∂ - e - 2 y cos ⁡ x ∂ y = - cos ⁡ x ∂ e - 2 y ∂ y

Pela regra da cadeia, temos

T y = - cos ⁡ x ∂ - 2 y ∂ y ∂ e u ∂ u

T y = - cos ⁡ x - 2 e u

Voltando u para - 2 y

T y = 2 cos ⁡ x e - 2 y

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Agora vamos substituir as derivadas parciais de T no vetor gradiente

∇ T = T x , T y

∇ T = e - 2 y sin ⁡ x , 2 cos ⁡ x e - 2 y

Aplicando o ponto π 4 , 1 .

∇ T = e - 2 1 sin ⁡ π 4 , 2 cos ⁡ π 4 e - 2 1

∇ T = 2 e - 2 2 , 2 2 e - 2 2

∇ T = 2 e - 2 2 , 2 e - 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∇ T = 2 e - 2 2 , 2 e - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas