Considere a função f ( x , y ) = 2 x + x e x y e P ( 2,0 ) .

b ) A derivada direcional de f ( x , y ) , em P ( 2,0 ) , na direção do vetor v → = ( 8 , - 6 ) , é ?;

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos deu a seguinte função

f ( x , y ) = 2 x + x e x y

e pede para calcularmos a derivada direcional no ponto P ( 2,0 ) na direção do vetor v → = ( 8 , - 6 ) . Nós podemos fazer isso através da definição

D v f ( x 0 , y 0 ) = ∑ j = 1 n ∂ f ∂ x j | ( x 0 , y 0 ) v j

na alternativa anterior desta mesma questão já tínhamos calculado que

∂ ∂ x f ( x , y ) = 2 + e x y ( 1 + x y ) e ∂ ∂ y f ( x , y ) = x 2 e x y

Usando a definição e estes resultados! Vamos resolver essa questão!

Passo 2

O somatório da definição pode ser expandido como

D v f ( 2,0 ) = ∑ j = 1 n ∂ f ∂ x j | ( 2,0 ) v j = ∂ f ( 2,0 ) ∂ x v x + ∂ f ( 2,0 ) ∂ y v y

usando que v → = ( v x , v y ) = ( 8 , - 6 ) , e calculando

∂ ∂ x f ( 2,0 ) = 2 + e ( 2 ) ( 0 ) ( 1 + ( 2 ) ( 0 ) ) = 3 e ∂ ∂ y f ( 2,0 ) = ( 2 ) 2 e ( 2 ) ( 0 ) = 4

podemos escrever que

D v f ( 2,0 ) = ∂ f ( 2,0 ) ∂ x v x + ∂ f ( 2,0 ) ∂ y v y = ( 3 ) ( 8 ) + ( 4 ) ( - 6 )

ou simplesmente

D v f ( 2,0 ) = 0

A alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

D v f ( 2,0 ) = 0

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas