Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 36

Calcule a derivada direcional em P 0 ( 3,4 ) se f x , y = 1 + 2 x y na direção do vetor u = ( 4 , - 3 ) .

Passo 1

Como se calcula a derivada direcional de uma função f ( x , y ) , em um ponto P o e na direção de um vetor u ?

Vamos usar essa fórmula aqui:

D u   f x , y = f û

Ou seja, precisamos fazer o produto interno do vetor gradiente da função e do vetor unitário na direçaõ do u .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente. A fórmula dele é essa aqui:

f = f x i + f y j

Vamos calcular essas duas derivadas parciais:

f x = x 1 + 2 x y = x 1 + x 2 x y = 0 + 2 y = 2 y

E na derivada parcial em relação a y , precisamos lembrar que a derivada de y é 1 2 y :

f y = y 1 + 2 x y = y 1 + y 2 x y = 0 + 2 x 2 y = x y

Então nosso vetor gradiente é:

f = 2 y       ,       x y

Passo 3

E agora precisamos achar o vetor unitário na direção de u . Para isso, vamos usar essa fórmula aqui:

û = u u

Ou seja, só precisamos dividir o vetor u pelo seu próprio módulo.

Nesse caso, o módulo do vetor u = ( 4 , - 3 ) é:

u = 4 2 + - 3 2 = 16 + 9 = 25 = 5

E então o vetor unitário é:

û = 4 , - 3 5 = 4 5 ,   - 3 5

Passo 4

Agora sim, podemos usar a fórmula lá de cima para calcular a derivada direcional:

D u   f x , y = f û

D u   f x , y = 2 y       ,       x y 4 5 ,   - 3 5

Como estamos interessados no ponto ( 3,4 ) , vamos substituí-los no lugar de x e y :

D u   f 3,4 = 2 4       ,       3 4 4 5 ,   - 3 5

D u   f 3,4 = 4       ,       3 2 4 5 ,   - 3 5

E agora é só fazer o produto interno:

D u   f 3,4 = 4 4 5 + 3 2 - 3 5 = 16 5 - 9 10 = 32 10 - 9 10 = 23 10 = 0,23

Resposta

A derivada direcional é 0,23 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas