Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2018.2, Questão E11

Considere a função

f x , y = ln 1 + x 2 - 3 y 2

E o vetor unitário u = ( a , b ) onde a > 0   e   b > 0 . Sabendo que a derivada direcional de f no ponto ( 1,1 ) na direção de u vale zero, podemos afirmar que:

  1. a = 3 2   e   b = 1 2
  2. a = 1 2   e   b = 3 2
  3. a = 2 2   e   b = 2 2
  4. a = 1 5   e   b = 2 5
  5. a = 2 3   e   b = 5 3

Passo 1

A derivada direcional é calculada da seguinte maneira:

f u 1,1 = f 1,1 u u  

Assim, vamos calcular o vetor gradiente de f , substituir no ponto ( 1,1 ) e depois a gente joga nessa formula aí, sabendo que isso é igual a zero, porque o enunciado disse pra gente.

Belezinha?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nossa função é

f x , y = ln 1 + x 2 - 3 y 2

O gradiente fica

f = 1 1 + x 2 - 3 y 2 2 x ,   1 1 + x 2 - 3 y 2 - 2 3 y

No ponto ( 1,1 ) :

f ( 1,1 ) = 1 1 + 1 2 - 3 . 1 2 2 . 1 ,   1 1 + 1 2 - 3 . 1 2 - 2 3 . 1

f ( 1,1 ) = 2 2 - 3 ,   - 2 3 2 - 3

Passo 3

Agora substituindo na formula do passo 1 e igualando a zero:

f u 1,1 = 2 2 - 3 ,   - 2 3 2 - 3 ( a , b ) = 0

Repare que u = ( a , b ) já é um vetor unitário, então a gente não precisa dividir pelo módulo dele. Ainda bem.

Continuando...

2 a 2 - 3 - 2 3 b 2 - 3 = 0

2 a 2 - 3 = 2 3 b 2 - 3

2 a ( 2 - 3 ) = 2 3 b ( 2 - 3 )

a ( 4 - 2 3 ) = b ( 4 3 - 6 )

a b = 4 3 - 6 4 - 2 3

Racionalizando

a b = 4 3 - 6 4 - 2 3 4 + 2 3 4 + 2 3 = 16 3 + 24 - 24 - 12 3 16 - 12 = 4 3 4 = 3

Passo 4

Agora vamos procurar dentre as opções valores de a e b que atendam a essa relação que achamos.

Na letra a temos a = 3 2   e   b = 1 2 :

a b = 3 2 1 2 = 3

Opa, nem precisamos procurar muito, já achamos!

Resposta

Letra ( a )

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