Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 8, Questão 5

5. Considere u = a , b um vetor unitário e calcule f u 0,0 .  

f x , y = x 3 x 2 + y 2 , x , y 0,0 0 , x , y = 0,0

Passo 1

Vamos começar calculando como ele pede, a derivada direcional pela definição

f u P 0 = lim t 0 f P 0 + t u - f P 0 t u

Temos

u = a , b

u = a 2 + b 2 = 1

O limite vai ficar

f u 0,0 = lim t 0 f 0,0 + t a , b - f 0,0 t . 1 = lim t 0 f t a , t b - 0 t

Lembrando que t 0 , ou seja ele não é zero, então

f t a , t b = t 3 a 3 t 2 a 2 + t 2 b 2 = t a 3 a 2 + b 2

Voltando para o limite

lim t 0 f t a , t b - 0 t = lim t 0 t a a 2 + b 2 t = lim t 0 a 3 a 2 + b 2 =   lim t 0 a 3 1 = a 3

Portanto : f u 0,0 = a 3

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Resposta

f u 0,0 = a 3

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