Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UNICAMP, Cálculo 2, Exame - 2017.2 - Noturno, Questão 1

Em um determinado ponto, a função diferenciável f ( x , y ) tem derivadas direcionais

D u 1 f = 1

D u 2 f = - 2

Em que

u 1 = 1 2 ,   - 1 2

u 2 = 1 2 , 1 2

Encontre f x e f y .

Passo 1

A derivada direcional de uma função diferenciável é calculada pela fórmula

f u P 0 = f P 0 u u  

E a questão nos deu o valor da derivada direcional na direção de dois vetores E esses dois vetores.

Quer dizer, ela deu tudo que a gente precisa pra encontrar as derivadas parciais f x e f y , grazadeus.

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Passo 2

Substituindo os dados do nosso problema na formula da derivada direcional, temos

1 = f x , f y 1 2 ,   - 1 2

- 2 = f x , f y 1 2 ,   1 2

Repare que os vetores

u 1 = 1 2 ,   - 1 2

u 2 = 1 2 , 1 2

Já são vetores unitários, isso é, já estão divididos pelo módulo deles, por isso que coloquei eles direto na fórmula.

Passo 3

Beleza, desenvolvendo os produtos escalares então:

f x 2 - f y 2 = 1

E

f x 2 + f y 2 = - 2

Assim

f x - f y = 2

f x + f y = - 2 2

Da primeira equação tiramos que

f x = 2 + f y

Substituindo isso na segunda equação:

2 + f y + f y = - 2 2

2 f y = - 2 2 - 2

f y = - 3 2 2

Assim

f x = - 2 2

Resposta

f x = - 2 2

f y = - 3 2 2

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