Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2014.1, Questão ME1

Encontre a derivada direcional de

f x , y , z = x 2 y z - y 2 z - x z

no ponto ( 1,2 , - 1 ) na direção do vetor u = i - 2 j + 2 k .

(a) - 6

(b) - 11 3

(c) - 17 3

(d) 1 3

(e) Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Pela fórmula da derivada direcional, temos:

f u = f 1,2 , - 1 u u

E o vetor u é:

u = i - 2 j + 2 k = 1 , - 2 ,   2

Então o seu módulo é:

u = 1 2 + - 2 2 + 2 2 = 9 = 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ainda precisamos do gradiente da f :

f x , y , z = x 2 y z - y 2 z - x z

Então as derivadas parciais são

f x x , y , z = 2 x y z - 0 - 1 z

  f x 1,2 , - 1 = 2.1 . 2 . - 1 - 1 - 1 = - 4 + 1 = - 3

  f y x , y , z = x 2 z - 2 y z - 0

f y 1,2 , - 1 = 1 . - 1 - 2.2 . - 1 = - 1 + 4 = 3

  f z x , y , z = x 2 y - y 2 + x z 2

f z 1,2 , - 1 = 1.2 - 4 + 1 = - 1

Então o gradiente é da f no ponto ( 1,2 , - 1 ) é:

f 1,2 , - 1 = ( - 3 ,   3 , - 1 )

Passo 3

Show! Agora vamos jogar tudo que achamos na fórmula da derivada direcional:

f u = f 1,2 , - 1 u u

  f u = - 3 ,   3 , - 1 1 , - 2 ,   2 3

  f u = - 3 ,   3 , - 1 1 3 , - 2 3 , 2 3

f u = - 3 - 6 - 2 3 = - 11 3

Resposta

Alternativa (b)

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