Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFPE, Calculo 2, 2º EE - 2012.2, Questão 3

O relevo na vizinhança de um passo, numa cadeia de montanhas, é dado aproximadamente por z = x 2 - y 2 , onde z é a altitude relativa ao nível do passo.

  1. Qual a rota (direção) mais segura, associada a inclinação da estrada, para cruzar uma região circular r 1 em torno do passo?
  2. Determine a região segura para a construção de uma estrada pelo passo, se o material da mesma e o peso médio dos veículos determinam uma inclinação máxima de 30 ° = π 6 a fim de não haver deslizamento.

Passo 1

  1. A direção mais segura será aquela em que a altura tiver a menor taxa de variação possível, ou seja, zero. Como z representa a altitude, teremos:
  2. D u f x , y =   z . u = 0

    Passo 2

    Na região circular em seu entorno, podemos fazer:

    x = c o s θ

    y = s e n θ

    Calculando o gradiente:

    z = 2 x , - 2 y

    Na vizinhança:

    z = 2 c o s θ , - 2 s e n θ

    Passo 3

    Vamos supor que a direção do vetor u seja a de menor inclinação. Então, partindo nessa direção, o vetor u terá as coordenadas:

    u = c o s θ ,   s e n θ

    Veja na figura a seguir:

    Como o gradiente tem coordenadas

    z = 2 c o s θ , - 2 s e n θ

    Então, o ângulo entre esses dois vetores é 2 θ , pois devido a segunda componente do gradiente, - 2 s e n θ , sua componente y é “negativa”. Veja a figura para melhor entender:

    Passo 4

    Sabendo que o módulo do gradiente é:

    z = 2 c o s θ 2 + - 2 s e n θ 2 = 2

    A derivada direcional fica:

    D u f x , y = z u c o s 2 θ = 0

    D u f x , y = 2 c o s 2 θ = 0

    c o s 2 θ = 0

    Então, temos:

    2 θ = ± π 2

    θ = ± π 4

    Então, a direção a ser tomada é θ = ± π 4

    Passo 4

  3. A taxa de variação de um deslocamento na direção da inclinação π 6 é dada por t g π 6 . É só você pensar que taxa de variação é o Δ y Δ x , onde o y vai ser o seno e o x vai ser o cosseno. Beleza?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já vimos que:

D u f x , y = 2 c o s 2 θ

Como π 6 é a inclinação máxima, vamos ter:

| D u f x , y   = 2 c o s 2 θ | t g π 6

Resposta

  1. θ = ± π 4
  2. | D u f x , y   = 2 c o s 2 θ | t g π 6

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas