Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2013.2, Questão ME3

Seja f x , y uma função diferenciável no ponto x 0 , y 0 tal que

f x x 0 , y 0 = 1

E

D 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = 0

Quanto vale D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0

  1. - 2
  2. 2
  3. - 1
  4. 2 / 2
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Para a derivada direcional

D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0

Vamos ter

u = - 2 2 , 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular módulo do vetor v :

u = - 2 2 2 + 2 2 2

u = 2 4 + 2 4

u = 1

u = 1

Passo 3

Calcular vetor gradiente:

f x , y , = f x , f y

Nesse caso nao temos a função para derivar então vamos direto para o vetor gradiente no ponto P

Calcular vetor gradiente no ponto P :

f x 0 , y 0 = x f x 0 , y 0 ,   y f x 0 , y 0

f x 0 , y 0 = 1 ,   y f x 0 , y 0

Precisamos de

y f x 0 , y 0

Vamos calcular aquela derivada direcional que ele deu o valor no enunciado, D 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 .

Passo 4

Dessa vez

v = 2 2 , 2 2

Calcular módulo do vetor v :

v = 2 2 2 + 2 2 2

v = 2 4 + 2 4

v = 1

v = 1

Passo 5

Calcular vetor gradiente:

f x , y , = f x , f y

Nesse caso não temos a função para derivar então vamos direto para o vetor gradiente no ponto P

Calcular vetor gradiente no ponto P :

f x 0 , y 0 = x f x 0 , y 0 ,   y f x 0 , y 0

f x 0 , y 0 = 1 ,   y f x 0 , y 0

Passo 6

Calcular derivada direcional de v , mas lembre-se que sabemos o valor dela nessa direção!!

f v P = f P v v  

0 = 1 ,   y f x 0 , y 0 2 2 , 2 2 1

0 = 2 2 + 2 2 y f x 0 , y 0

2 2 y f x 0 , y 0 = - 2 2

y f x 0 , y 0 = - 1

Passo 7

Agora voltando aonde paramos no passo 2

f x 0 , y 0 = 1 ,   y f x 0 , y 0

f x 0 , y 0 = 1 ,   - 1

Passo 8

Calcular derivada direcional de u

D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = f x 0 , y 0 u u  

D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = 1 ,   - 1 - 2 2 , 2 2 1

D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = - 2 2 - 2 2

D - 2 2 , 2 2 f x 0 , y 0 = - 2

Alternativa (a)

Resposta

Alternativa (a)

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