Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

USP, Cálculo 2, P2 - 2017, Questão 7

Seja f   : R 2 R uma função diferenciável. Suponha que a curva γ t = t 2 ,   t 3   ,   t   R seja uma parametrização da curva de nível f = 8 . Suponha que o plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,1 , f 1,1 contenha o ponto ( 2,2 , 1 ) . Considere os vetores unitários u 1 = ( 1,0 ) e u 2 = 1 5 3,4 . Então f u 1 1,1 + f u 2 ( 1,1 ) é igual a:

  1. - 112 5
  2. 26 5
  3. 13 5
  4. - 92 5
  5. 105 5

Passo 1

Nosso objetivo é calcular as derivadas direcionais de f no ponto 1,1 nas direções do vetor u 1 e u 2 , para descobrir quanto vale a soma delas duas.

Como a função f é diferenciável, as derivadas direcionais são calculadas por

f u 1 1,1 = f 1,1 ( 1,0 )

f u 2 1,1 = f 1,1 1 5 3,4

Então, a nossa incógnita da questão é o vetor gradiente de f no ponto ( 1,1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar as informações que a questão deu pra gente.

A primeira diz que a curva γ é parametrização da curva de nível 8 da função. Curva de nível é f x 0 , y 0 = 8

Com x 0 e y 0 sendo os pontos da curva de nível.

Se fizermos x 0 , y 0 = ( 1,1 ) , então

f 1,1 = 8

Ok, não sei pra que vou usar isso ainda, mas vamos guardar essa informação com carinho.

Passo 3

Agora vamos tentar pensar como podemos achar o vetor gradiente de f .

Sabemos que

z = f x , y

E como a curva γ ( t ) é uma curva de nível de f , isso significa que as componentes x ( t ) e y ( t ) da curva tem que satisfazer a nossa função também. Isso significa que se

z t = f x t , y t = f t 2 ,   t 3 = f γ t

Usando a regra da cadeia, vamos ter

d z d t = f γ t '

E a derivada de γ t a gente consegue calcular, porque temos a expressão de γ ( t ) :

γ t = t 2 ,   t 3

γ ' t = 2 t , 3 t 2

Assim, vamos ter

d z d t = f 2 t , 3 t 2

Mas, a gente sabe também que

z = f x , y = 8

Porque estamos pensando na curva de nível 8 da função f . Assim, se

z = 8 d z d t = 0

Então, temos

d z d t = f 2 t , 3 t 2 = 0

d z d t = f x , f y 2 t , 3 t 2 = 0

Passo 4

Agora vamos substituir no ponto P 0 = 1,1 , f ( 1,1 ) = ( 1,1 , 8 ) , porque é justamente nele que queremos descobrir f x e f y . Mas, pra isso a gente precisa saber qual o valor de t que corresponde a esse ponto.

Vamos igualar o ponto a γ t

γ t = t 2 ,   t 3 = 1 , 1

t 2 = 1 t = ± 1

t 3 = 1 t = 1

Assim, t = 1

Agora sim, substituindo P 0 = 1,1 , 8 e o t 0 = 1 correspondente a ele, ficamos com

d z d t = f x ( 1,1 ) x , f y 1 , 1 2 t 0 , 3 t 0 2 = 0

2 t 0 f x 1 , 1 + 3 t 0 2 f y 1 , 1 = 0

2 . 1 f x 1,1 + 3 . 1 2 f y 1,1 = 0

2 f x 1,1 + 3 f y 1,1 = 0

f x 1 , 1 = - 3 2 f y 1 , 1

Passo 5

Beleza, mas isso é uma relação entre as derivadas parciais, ainda não sabemos o valor delas.

Agora que vamos analisar a segunda informação que a questão nos deu: o plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,1 , 8 contém o ponto ( 2,2 , 1 ) .

Isso significa que esse ponto deve satisfazer a equação do plano tangente, que é

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 F x 0 , y 0 , z 0 = 0

Ai caceta, de onde saiu esse F ?

Relaxa, F é só a superfície que é gráfico da função f . Assim, podemos dizer que

f x , y = z F x , y , z = f x , y - z

Assim, o gradiente de F será

F = ( f x , f y , - 1 )

No ponto de tangencia:

F 1,1 , f 1,1 = ( f x ( 1,1 ) , f y ( 1,1 ) , - 1 )

Passo 6

Ótimo, voltando então a equação do plano tangente no ponto 1,1 , 8 :

x - 1 , y - 1 , z - 8 ( f x ( 1,1 ) , f y ( 1,1 ) , - 1 ) = 0

E, como dissemos antes, o ponto ( 2,2 , 1 ) deve satisfazer essa equação. Assim

2 - 1 , 2 - 1 , 1 - 8 ( f x ( 1,1 ) , f y ( 1,1 ) , - 1 ) = 0

f x + f y + 7 = 0

f x ( 1,1 ) + f y ( 1,1 ) = - 7

E temos então outra relação entre as derivadas parciais.

Passo 7

Juntando as duas relações, formamos o sistema:

f x 1,1 = - 3 2 f y 1,1

f x ( 1,1 ) + f y ( 1,1 ) = - 7

Substituindo a primeira na segunda:

- 3 2 f y 1,1 + f y ( 1,1 ) = - 7

- 1 2 f y 1,1 = - 7

f y 1,1 = 14

E assim

f x 1,1 = - 3 2 14 = - 21

Portanto, o gradiente que tanto queríamos descobrir é

f 1,1 = - 21,14

Passo 8

Show, mas a questão ainda não acabou

Ainda precisamos calcular as derivadas direcionais:

f u 1 1,1 = f 1,1 1,0 = - 21,1 4 1,0

f u 1 1,1 = - 21

f u 2 1,1 = f 1,1 1 5 3,4 = - 21,1 4 1 5 3,4

f u 2 1,1 = - 63 5 + 56 5 = - 7 5

Assim

f u 1 1,1 + f u 2 1,1 = - 21 - 7 5

f u 1 1,1 + f u 2 1,1 = - 112 5

Resposta

L e t r a   a

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas