Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

USP, Cálculo 2, P2 - 2017, Questão 1

Seja f   : R 2 R uma função e seja ( x 0 , y 0 ) R 2 um ponto. Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f x x 0 , y 0 e f y ( x 0 , y 0 ) existem, então f é contínua em ( x 0 , y 0 ) .
  2. Se f é diferenciável em x 0 , y 0 , então f x x 0 , y 0 e f y ( x 0 , y 0 ) existem.
  3. Se f x e f y existem em R 2 e são contínuas em ( x 0 , y 0 ) , então f é diferenciável em x 0 , y 0 .
  4. Se f u ( x 0 , y 0 ) existe para todo versor u R 2 , então f é difrenciável em ( x 0 , y 0 ) .

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
  2. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
  3. Apenas as afirmações II, III e IV são verdadeiras.
  4. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
  5. Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.

Passo 1

Vamos analisar cada afirmativa. Mas antes, vamos dar uma relembrada nos nossos três teoremas sobre diferenciabilidade:

  1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
  2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
  3. Se f x e f y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

E as recíprocas desses teoremas são falsas!

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Passo 2

Show, agora sim vamos as análises. Começando pela primeira afirmação:

  1. Se f x x 0 , y 0 e f y ( x 0 , y 0 ) existem, então f é contínua em ( x 0 , y 0 ) .
  2. Bem, a primeira coisa que poderíamos pensar aqui é: derivadas parcias existem, então é diferenciável, então é contínua.

    Maaaas, no nosso terceiro teorema, temos um “Q” a mais: para a função ser diferenciável (e aí sim contínua), ela precisa não só que as derivadas parciais existam, mas também que sejam contínuas!

    Portanto, essa afirmativa é falsa.

    Passo 3

    Segunda afirmação:

  3. Se f é diferenciável em x 0 , y 0 , então f x x 0 , y 0 e f y ( x 0 , y 0 ) existem.
  4. Essa daí nem precisamos pensar muito, é só lembrar dos teoremas, porque ela tá dita de cara no segundo teorema né?! Então, verdadeira!

    Passo 4

    Terceira afirmação:

  5. Se f x e f y existem em R 2 e são contínuas em ( x 0 , y 0 ) , então f é diferenciável em x 0 , y 0 .
  6. Mesma coisa: é só lembrar dos teoremas. Ela é exatamente o que diz no terceiro teorema. Verdadeira.

    Passo 5

    Última afirmação:

  7. Se f u ( x 0 , y 0 ) existe para todo versor u R 2 , então f é difrenciável em ( x 0 , y 0 ) .

Quando aprendemos sobre derivadas direcionais, a gente aprendeu que ela podia ser calculada por uma fórmula de produto escalar e por uma definição. E que se a gente calculasse dos dois jeitos e encontrasse resultados diferentes, era porque a função não era diferenciável, e aí valia o resultado calculado pela definição.

Com isso, mesmo que a função não seja diferenciável, nós conseguimos calcular a derivada direcional pela definição de derivada direcional. Portanto, essa afirmativa é falsa.

Resposta

L e t r a   b

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