Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2018.1, Questão E3

Seja

f x , y , z = x 2 + x y 3 + y e z

Para qual dos valores abaixo temos a derivada direcional D u f 1 , 1,0 = 1 ?

a u = 2 2 , 2 2 ,   0

b   u = ( 1,0 , 0 )

c   u = ( 0,1 , 0 )

d u = ( 0,0 , 1 )

e u = 3 3 , 3 3 ,   3 3

Passo 1

A fórmula da derivada direcional é

D u f x , y , z = f x , y , z . u u

O vetor gradiente a gente consegue calcular, pois temos a expressão de f . Substituindo o vetor gradiente e o valor da derivada direcional, nossa incógnita será o vetor u , que é exatamente o que queremos descobrir!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando o gradiente de f :

f x , y , z = x 2 + x y 3 + y e z

T x , y , z = ( 2 x + y 3 , 3 y 2 x + e z , y e z )

Substituindo no ponto P = ( 1,1 , 0 ) :

f 1,1 , 0 = ( 2.1 + 1 3 , 3 . 1 2 . 1 + e 0 , 1 . e 0 )

f 1,1 , 0 = ( 3,4 , 1 )

Passo 3

Agora vamos substituir nossos dados na fórmula da derivada direcional:

D u f 1,1 , 0 = 3,4 , 1 . u u = 1

Vamos dar uma olhadinha nas opções da questão e pensar:

Temos que fazer um produto escalar entre um vetor cujas componentes sabemos quais são (que é o vetor gradiente) e um vetor que não sabemos quais são as componentes, muito menos seu módulo, mas queremos descobrir. E esse produto escalar tem que dar 1.

Oras, a ultima componente do vetor que sabemos é 1, assim, se as duas primeiras componentes do vetor que não sabemos fossem 0 e a última fosse 1, teríamos o melhor dos mundos, pois o módulo desse vetor seria unitário e as duas primeiras componentes dele anulariam as duas primeiras componentes do vetor gradiente e sobraria só 1 × 1 = 1 .

E se a gente olhar nas opções, até que a questão foi legal com a gente, pois tem uma opção que é exatamente assim!

u = ( 0,0 , 1 )

E, de fato, como todos os vetores tem módulo unitário,

D u f 1,1 , 0 = 3,4 , 1 . ( x u , y u , z u ) 1 = 1

3 x u + 4 y u + z u = 1

A única opção que satisfaz essa equação é a letra d .

Passo 4

Só um obs: se você acha que o que fizemos aqui não seria algo que você pensaria na hora da prova, você ainda teria a opção de testar todas as opções e calcular a derivada direcional em todas elas.

Nem levaria tanto tempo assim, pois todas as opções dos vetores tem módulo unitário.

Resposta

Letra d

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas