Sejam

u = 1 2 , 1 2

v = 1 5 , 2 5

Sabendo que f ( x , y ) é uma função diferenciável tal que

D u f 0,0 = 1

D v f 0,0 = 2

Podemos afirmar que:

  1. ∇ f 0,0 = 5 - 2 i + 2 2 - 5 j
  2. ∇ f 0,0 = 2 2 - 5 i + 2 5 - 2 j
  3. ∇ f 0,0 = 2 - 5 i + 5 - 2 j
  4. ∇ f 0,0 = 2 2 - 2 5 i + 2 5 - 2 j

Passo 1

Beleza, temos 2 vetores e os valores da derivada direcional de f na direção deles no ponto ( 0,0 ) e queremos saber qual o vetor gradiente nesse ponto.

A fórmula da derivada direcional é

D u f x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ∙ u u = f x x o , y 0 , f y x 0 , y 0 ∙ u u

Então, para descobrir o gradiente de f , precisamos apenas resolver um sisteminha.

Lembrando que os vetores que ele deu para a gente já são unitários, então não precisamos dividir pela norma!

Passo 2

Nosso sistema vai ser:

D u f 0 , 0 = f x 0,0 , f y 0,0 ∙ 1 2 , 1 2 = 1

D v f 0,0 = f x 0,0 , f y 0,0 ∙ 1 5 , 2 5 = 2

Assim, temos

f x 0,0 . 1 2 + f y 0,0 . 1 2 = 1

f x 0,0 . 1 5 + f y 0,0 . 2 5 = 2

Passo 3

Podemos isolar f x na primeira equação

f x 0,0 = 1 2 - f y ( 0,0 )

E substituir na segunda:

1 2 - f y 0,0 . 1 5 + f y 0,0 . 2 5 = 2

2 5 - f y 0,0 . 1 5 + f y 0,0 . 2 5 = 2

f y 0,0 . 1 5 = 2 - 2 5

f y 0,0 = 2 5 - 2

Voltando para o f x agora:

f x 0,0 = 2 - 2 5 - 2

f x 0,0 = 2 2 - 2 5

Assim:

∇ f 0 , 0 = 2 2 - 2 5 ,   2 5 - 2

Ou

∇ f 0,0 = 2 2 - 2 5 i + 2 5 - 2 j

Resposta

Letra d

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas