Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, exercício 5 p.120

Sejam

f x , y = x 3 x 2 + y 2 x , y 0,0 0 x , y = 0,0

E

u = 1,1

  1. Calcule a derivada direcional em u pela definição em 0,0
  2. Calcule a derivada direcional em u pela fórmula do produto escalar em 0,0
  3. Justifique porque os valores encontrados são diferentes.

Passo 1

a)

Vamos começar calculando como ele pede, a derivada direcional pela definição

f u P 0 = lim t 0 f P 0 + t u - f P 0 t u

Essa conta SEMPRE dá certo, o problema é a fórmula que as vezes não vale!!

Temos

u = 1,1

u = 1 2 + 1 2 = 2

O limite vai ficar

f u 0,0 = lim t 0 f 0,0 + t 1,1 - f 0,0 t 2 = lim t 0 f t , t - 0 t 2

Lembrando que t 0 , ou seja ele não é zero, então

f t , t = t 3 t 2 + t 2 = t 3 2 t 2 = t 2

Voltando para o limite

lim t 0 f t , t - 0 t 2 = lim t 0 t 2 t 2 = lim t 0 1 2 2 = 1 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos agora calcular pela fórmula, primeiro temos que achar o vetor gradiente

f = f x , f y

Como temos uma definição meio estranha da função temos que calcular essa parada pela definição

f x = lim x 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x 0 x 3 x 2 + 0 2 - 0 x - 0 = lim x 0 x 3 x 2 x = lim x 0 1 = 1

f y = lim y 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y 0 0 3 0 2 + y 2 - 0 y - 0 = lim y 0 0 y = lim y 0 0 = 0

Passo 3

A derivada direcional vai ser

f u 0,0 = f 0,0 u u

f u 0,0 = 1,0 1,1 2 = 1 2

Passo 4

c)

Repara que as paradas deram diferentes, porque isso aconteceu? Simples, essa função não é diferenciável.

A resposta que vale é a da definição.

Não precisa rodar muito sobre isso porque não é o propósito da questão, mas até daria pra provar que aquele erro muito gigante que calculamos não é 0 .

Resposta

  1. 1 / 2 2
  2. 1 / 2
  3. É diferente porque a função não é diferenciável

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