Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

10. Calcule a derivada direcional de f x , y = x 2 + y 2 , na direção da tangente à circunferência x 2 + y 2 = 25 em 3,4 no mesmo ponto.

Passo 1

Primeiro vamos calcular a tangente a circunferência. Mas para fazer isso, precisamos parametrizá-la. Temos:

x = 5 cos ⁡ t ; y = 5 s e n t     0 ≤ t ≤ 2 π

σ t = 5 cos ⁡ t , 5 s e n t ;   0 ≤ t ≤ 2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrando o vetor tangente:

σ ' t = - 5 s e n t , 5 cos ⁡ t ;   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Porém, ele quer no ponto 3,4 . Igualando x temos :

3 = 5 cos ⁡ t 0

cos ⁡ t 0 = 3 5

Igualando y :

4 = 5 s e n t 0

s e n t 0 = 4 5

Repare que não encontramos o valor do parâmetro t no ponto 3,4 mas encontramos os valores que precisamos:

cos ⁡ t 0 = 3 5

s e n t 0 = 4 5

Passo 4

Substituindo:

σ ' t 0 = - 5 s e n t 0 , 5 cos ⁡ t 0  

σ ' t 0 = - 4 , 3

Passo 5

Agora temos de calcular a derivada direcional no ponto 3,4 na direção do vetor - 4,3 .

Calculando o gradiente:

∇ f x , y = 2 x , 2 y

No ponto 3,4 temos:

∇ f 3 , 4 = 6,8  

Passo 6

A fórmula da derivada direcional é:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

Então temos:

∂ f ∂ u 3,4 = ∇ f 3,4 . - 4,3 5

Substituindo:

∂ f ∂ u 3,4 = 6,8 . - 4,3 5 = 0

Resposta

Zero.

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