A altura do pico do Jabre (município de Matureia – PB) é, de maneira aproximada, dada por

h x   y = 1,2 - 0,00065 x 2 - 0,00024 y 2

onde h mede a altura em relação ao nível do mar e ( x ,   y ) mede as distâncias leste-oeste e norte-sul em relação ao local do pico (medidas em quilômetro). Considerando que você esteja localizado no ponto x ,   y = ( - 2 ,   - 4 ) , determine:

a) Ao caminhar na direção norte u → = ( 0 ,   1 ) , você subirá ou descerá o pico.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente supor que estamos caminhando na direção norte do pico descrito pela equação h ( x ,   y ) . E ele quer saber se caminhando nessa direção, vamos estar subindo ou descendo o pico.

Para isso, vamos precisar calcular a derivada direcional da função, se o nosso resultado for positivo, dizemos que o nível está aumentando e estamos subindo, se o nosso resultado for negativo, dizemos que o nível está diminuindo e estamos descendo.

A derivada direcional na direção do vetor u → = ( a ,   b ) é dada por:

D u h x ,   y = h x x ,   y a + h y x ,   y b

onde h x e h y são as derivadas parciais de h em relação a x e a y , respectivamente, e a ,   b = ( 0 ,   1 ) nesse caso.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais da função h x   y = 1,2 - 0,00065 x 2 - 0,00024 y 2 .

Considerando y constante, derivamos em relação a x :

h x = - 0,0013 x

Agora considerando x constante, temos a derivada em relação a y :

h y = - 0,00048 y

Então, nossa derivada direcional será:

D u h x ,   y = ( - 0,0013 x ,   - 0,00048 y )

No ponto u → = ( 0 ,   1 ) vamos obter:

D u h 0 ,   1 = - 0,0013 0 + - 0,00048 1 = - 0,00048

Logo, se andarmos na direção norte, vamos descer o pico a uma taxa de - 0,00048 na vertical para cada metro na horizontal.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d e s c e r á   o   p i c o

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas