Calcule a derivada direcional de f x , y , z = 2 x 2 + 2 y 2 + z ² na direção normal ao hiperbolóide z 2 - x 2 - y 2 = 1 , nos pontos deste. Expresse o resultado em função de x   e   y .

Passo 1

Fala galera, bora resolver nosso exercício?

Vamos lá, o grande segredo para a gente conseguir resolver o nosso exercício é lembrar da derivada de uma função modular.

Além disso, também vamos precisar aplicar a regra do produto. Show? Então vamos lá.

Passo 2

Show, o enunciado pede para a gente derivar:

v t = r → t × r → ' t

Ok, mas nós estamos trabalhando com uma função modular. E sinceramente? Ela parece ser mais complicada que o normal né? Pois é, mas nós vamos dar uma mexida nela.

Para isso, precisamos relembrar de uma relação de função modular. Vamos pegar o seguinte exemplo, se:

y = x

Nós podemos dizer por definição que:

y = x = x ²

Show? Então vamos aplicar isso na nossa fórmula:

v t = r → t × r → ' t = r → t × r → ' t 2

Ok, mas ainda podemos melhorar. Para isso, temos que lembrar que:

y = x = x ² = ( x 2 ) 1 2

Aplicando:

v t = r → t × r → ' t = r → t × r → ' t 2 = ( r → t × r → ' t 2 ) 1 2

Show né? Vamos derivar a partir desse jeito.

Passo 3

Derivando:

v t = ( r → t × r → ' t 2 ) 1 2

v ' t = 1 2 ( r → t × r → ' t 2 ) - 1 2 r → t × r → ' t 2 '

Vamos dar uma arrumada:

v ' t = 1 2 r → t × r → ' t 2 r → t × r → ' t 2 '

Agora vamos voltar a usar o módulo que alteramos no passo 2:

v ' t = 1 2 r → t × r → ' t r → t × r → ' t 2 '

Show, agora vamos aplicar a primeira regra da cadeia, derivando polinômio:

v ' t = 1 2 r → t × r → ' t 2 r → t × r → ' t r → t × r → ' t '

Vamos dar uma arrumada:

v ' t = r → t × r → ' t r → t × r → ' t r → t × r → ' t '

Ok, agora temos a segunda regra da cadeia, aonde vamos aplicar a regra do polinômio

r → t × r → ' t ' = r → ' t × r → ' t + r → t × r → ' ' t

Substituindo:

v ' t = r → t × r → ' t r → t × r → ' t r → ' t × r → ' t + r → t × r → ' ' t

v ' t = r → t × r → ' t r → t × r → ' t r → ' t ² + r → t × r → ' ' t

Resposta

v ' t = r → t × r → ' t r → t × r → ' t r → ' t ² + r → t × r → ' ' t

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