(Capítulo 14.6 – Exercício 20) Determine a derivada direcional de f ( x , y , z ) = x y + y z + z x em P ( 1 , - 1,3 ) na direção de Q ( 2 ,   4 ,   5 ) .

Passo 1

E aíí gente, beleza?

A questão pede para calcular a derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) na direção do vetor P Q → .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) na direção de um vetor u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas atenção: a gente SEMPRE precisa garantir que o vetor que dá a direção esteja normalizado ok? Ou seja, o módulo dele sempre deve valer 1! Caso isso não aconteça, vamos dividir o vetor pelo seu próprio módulo, pra aí encontrarmos o vetor normalizado.

Então vamos lá

Passo 2

O vetor dado é

P Q → = Q - P = ( 1,5 , 2 )

Neste caso, P Q → não está normalizado, porque olha quem é o módulo dele:

P Q → = 1 + 25 + 4 = 30

Logo,

P Q ^ = P Q → P Q → = 1 30 , 5 30 , 2 30

Showw, então agora sim o nosso vetor é unitário

É esse vetor que vamos usar para calcular a derivada direcional

Passo 3

Agora vamos encontrar o gradiente de f :

f ( x , y , z ) = x y + y z + z x

Suas derivadas parciais são:

∂ f ∂ x = y + z

∂ f ∂ y = x + z

∂ f ∂ z = x + y

Então, o gradiente da função é

∇ f x ,   y = y + z , x + z , x + y

Portanto, no ponto a ,   b , c = ( 1 ,   - 1,3 ) :

∇ f 1 , - 1,3 = 2,4 , 0

Passo 4

Agora sim, temos todas as informações para calcular a derivada direcional:

D u f a ,   b , c = ∇ f a ,   b , c ⋅ P Q ^

D u f 1 , - 1,3 = 2,4 , 0 ⋅ 1 30 , 5 30 , 2 30

Logo,

D u f 1 , - 1,3 = 22 30

Resposta

D u f 1 , - 1,3 = 22 30

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas