Considere a função f ( x , y ) = 2 x + x e x y e P ( 2,0 ) .

a ) Se u → m i n é unitário apontando na direção que f ( x , y ) tem maior taxa de decrescimento, em P ( 2,0 ) , então u → m i n = ( ? , ? ) e a derivada direcional nessa direção é ?;

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos deu a seguinte função

f ( x , y ) = 2 x + x e x y

e um ponto qualquer P ( 2,0 ) . E, esta alternativa nos pede para calcularmos as componentes do vetor u → m i n , que é um vetor unitário apontando para a direção da maior taxa de decrescimento no ponto dado. Assim como, precisamos calcular a derivada direcional! Como fazer isso?

O vetor gradiente de uma função nos dá a direção de maior crescimento (decrescimento) da função, portanto, podemos começar calculando o vetor gradiente! Ainda temos que calcular a derivada direcional nesta direção, o que seria isso? A definição é

D u f ( x 0 , y 0 ) = ∑ j = 1 n ∂ f ∂ x j | ( x 0 , y 0 ) u j

Quando formos resolver explico melhor o que são cada um dos índices se não ficou claro para você! Vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa, é calcular o vetor gradiente definido por

∇ → f ( x , y ) = ( ∂ ∂ x f ( x , y ) , ∂ ∂ y f ( x , y ) )

ou seja, precisamos calcular ambas as derivadas parciais. Primeiro, temos que

∂ ∂ x f ( x , y ) = ∂ ∂ x [ 2 x + x e x y ] = 2 ∂ ∂ x [ x ] + ∂ ∂ x [ x e x y ]

A primeira das duas derivadas acima pode ser resolvida usando a regra do tombo

∂ ∂ x x n = n x n - 1

e, temos que

∂ ∂ x [ x ] = ( 1 ) x 1 - 1 = 1

A segunda derivada é aplicada em um produto de funções, portanto, vamos precisar aplicar a regra do produto

∂ ∂ x [ g ( x , y ) h ( x , y ) ] = ∂ ∂ x [ g ( x , y ) ] h ( x , y ) + g ( x , y ) ∂ ∂ x [ h ( x , y ) ]

em que g ( x , y ) = x e h ( x , y ) = e x y . Usando a regra do tombo para a derivada de g ( x , y ) = x , como fizemos acima, e lembrando que a derivada parcial em x toma y como constante, temos então que

∂ ∂ x [ x e x y ] = ∂ ∂ x [ x ] e x y + x ∂ ∂ x [ e x y ] = ( 1 ) e x y + x ( y e x y )

ou seja, temos que a nossa derivada é

∂ ∂ x f ( x , y ) = 2 ( 1 ) + ( e x y + x y e x y ) = 2 + e x y ( 1 + x y )

Uff… agora precisamos calcular a derivada em y , e avaliar no ponto desejado! Vamos lá!

Passo 3

A derivada em y é bem mais direta, temos que

∂ ∂ y f ( x , y ) = ∂ ∂ y [ 2 x + x e x y ] = 2 ∂ ∂ y [ x ] + ∂ ∂ y [ x e x y ]

mas lembre que como a derivada parcial é em y , todo x é visto como constante, portanto, temos que

∂ ∂ y f ( x , y ) = 2 ( 0 ) + x ∂ ∂ y [ e x y ] = x ( x e x y )

ou simplesmente, temos que

∂ ∂ y f ( x , y ) = x 2 e x y

Nosso vetor gradiente é dado então por

∇ → f ( x , y ) = ( ∂ ∂ x f ( x , y ) , ∂ ∂ y f ( x , y ) ) = [ 2 + e x y ( 1 + x y ) , x 2 e x y ]

Avaliando no ponto P ( 2,0 ) , temos que

∇ → f ( 2,0 ) = [ 2 + e ( 2 ) ( 0 ) ( 1 + ( 2 ) ( 0 ) ) , ( 2 ) 2 e ( 2 ) ( 0 ) ] = ( 3,4 )

Esse ainda não é o vetor que queremos! Esse aí é um vetor que indica a direção de maior crescimento da função, queremos o vetor unitário de maior decrescimento! Então vamos mexer um pouquinho no vetor acima!

Passo 4

Primeiro, queremos que o vetor seja unitário, portanto, vamos usar que

u → m a x = ∇ → f ( 2,0 ) | | ∇ → f ( 2,0 ) | |

usando que

| | ∇ → f ( 2,0 ) | | = ( 3 ) 2 + ( 4 ) 2 = 5

ou seja, nosso vetor unitário é dado por

u → m a x = ∇ → f ( 2,0 ) | | ∇ → f ( 2,0 ) | | = 1 5 ( 3,4 )

mas, esse ainda é a direção de maior crescimento, queremos a menor! Mas, isso é bem simples, é só tomarmos que

u → m i n = - u → m a x = - 1 5 ( 3,4 )

Ótimo!!! A primeira lacuna está resolvida! Vamos para a próxima!

Passo 5

Agora queremos a derivada direcional dada por

D u f ( x 0 , y 0 ) = ∑ j = 1 n ∂ f ∂ x j | ( x 0 , y 0 ) u j

essa somatória pode ser expandida como

D u f ( x 0 , y 0 ) = ∂ f ( 2,0 ) ∂ x u x + ∂ ( 2,0 ) ∂ y u y

em que calculamos anteriormente que

∂ f ( x , y ) ∂ x = 2 + e x y ( 1 + x y ) e ∂ f ( x , y ) ∂ y = x 2 e x y

portanto, temos que

∂ f ( 2,0 ) ∂ x = 3 e ∂ f ( x , y ) ∂ y = 4

e, usando que u → m i n = ( u x , u y ) , podemos identificar que u x = - 3 / 5 e u y = - 4 / 5 , portanto, a derivada direcional é dada por

D u f ( 2,0 ) = ( 3 ) ( - 3 / 5 ) + ( 4 ) ( - 4 / 5 ) = - 25 5

ou, simplesmente

D u f ( 2,0 ) = - 5

A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u → m i n = - 1 5 ( 3,4 ) e D u f ( 2,0 ) = - 5

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas