Considere a função f x , y , z = 2 x y + y 3 z + x z no ponto P 1 , - 1 , - 3 , encontre:

  1. A derivada direcional na direção de Q ( 2,4 , 5 )
  2. A taxa de variação máxima nesse ponto e a direção em que ela ocorre.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos as derivadas direcionais, usaremos a fórmula:

d f d u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Como podem ver, nós vamos ter que calcular também o gradiente da nossa função no ponto:

∇ f P 0 = d f d x 0 , d f d y 0 , d f d z 0

Show, vamos calcular.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais

f x , y , z = 2 x y + y 3 z + x z

d f d x = 2 y + z

d f d y = 2 x + 3 y ² z

d f d z = y 3 + x

Aplicando o ponto:

d f d x 1 , - 1 , - 3 = 2 - 1 - 3 = - 5

d f d y 1 , - 1 , - 3 = 2 1 + 3 - 1 2 - 3 = 2 - 9 = - 7

d f d z 1 , - 1 , - 3 = - 1 3 + 1 = 0

Ajustando já a fórmula:

d f d u P 0 = ∇ f P 0 × u u

d f d u P 0 = ( - 5 , - 7,0 ) × u u

O enunciado nos diz que a derivada está indo na direção Q ( 2,4 , 5 ) , então:

u = ( 2,4 , 5 )

u = 2 2 + 4 2 + 5 ² = 4 + 16 + 25

u = 45 = 3 5

Jogando na fórmula:

d f d u P 0 = ( - 5 , - 7,0 ) × ( 2,4 , 5 ) 3 5

d f d u P 0 = ( - 5 , - 7,0 ) × 2 3 5 , 4 3 5 , 5 3 5

d f d u P 0 = - 10 3 5 - 28 3 5 = - 38 3 5

Resposta

d f d u 1 , - 1 , - 3 = - 38 3 5

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