Considere a função

f x , y = x 4 4 + x 2 y 2 2 + x y

Encontre os vetores unitários u , v , w tais que as derivadas direcionais D u f 1,1 é maior possível; D v f 1,1 é menor possível e D w f ( 1,1 ) é menor possível.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos as derivadas direcionais, usaremos a fórmula:

d f d u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Antes da gente ir direto no que o enunciado está pedindo, vamos ajustar a nossa fórmula em função do que já foi dado.

Ele pede pra ser calculado no ponto ( 1,1 ) e vamos ter que também calcular o gradiente no ponto:

d f d x = x 3 + x y 2 + y

d f d y = x ² y + x

Aplicando o ponto:

d f d x 1,1 = 1 3 + 1 . 1 2 + 1 = 3

d f d y = 1 2 1 + 1 = 2

Ajustando já a fórmula:

d f d u 1,1 = 3,2 × u u

Ok, mas ainda não temos os vetores u da nossa fórmula. Bom é exatamente isso que o exercício pede para acharmos.

Passo 2

Na primeira parte, ele pede para acharmos as derivadas direcionais aonde D u f 1,1 é maior possível. Isso acontece quando o nosso vetor aponta na mesma direção do gradiente, então:

u = ∇ f 1,1 = ( 3,2 )

Jogando na fórmula, teremos

d f d u 1,1 = 3,2 × ( 3,2 ) 9 + 4

d f d u 1,1 = 9 13 + 4 13 = 13 13 = 13

Passo 3

Bem parecido com a ideia do Passo 2. Se a nossa derivada direcional é a maior possível indo em direção ao vetor gradiente, para ser a menor possível, ela precisa ir na direção contrária.

v = - ∇ f 1,1 = ( - 3 , - 2 )

Jogando na fórmula, teremos

d f d u 1,1 = 3,2 × ( - 3 , - 2 ) 9 + 4

d f d u 1,1 = - 9 13 - 4 13 = - 13 13 = - 13

Passo 4

Apesar da ultima pergunta ser parecida com a anterior, agora temos um módulo aqui. Isso faz com que os valores negativos se tornem positivos. Então para acharmos a menor derivada direcional, vamos precisar zerar alguma componente do nosso vetor. E nesse caso, tanto faz qual.

Então podemos dizer que:

w = a , 0   o u   ( 0 , b )

Resposta

u = ∇ f 1,1 = ( 3,2 )

v = - ∇ f 1,1 = ( - 3 , - 2 )

w = a , 0   o u   ( 0 , b )

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas