Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.

c)

f x , y , z = x 2 y + y 2 z ,   1,2 , 3 ,   v = 2 , - 1,2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada direcional de f num ponto x , y , z na direção do vetor v → .

Por definição, temos que a derivada direcional de f num ponto x , y , z na direção u → unitário qualquer é dada por:

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ∙ u →

No nosso caso, o vetor v → não está normalizado, portanto:

u → = v → v → ∴

u → = 2 i - j + 2 k 2 2 + - 1 2 + 2 2 ∴

u → = 1 3 2 i - j + 2 k

Agora vamos descobrir o nosso gradiente para depois substituir na fórmula!!

Passo 2

Nesse sentido, tomando o gradiente de f , temos:

∇ f x , y , z = 2 x y i + x 2 + 2 y z j + y 2 k

No ponto x , y , z = 1,2 , 3 , temos:

∇ f 1,2 , 3 = 4 i + 13 j + 4 k

Assim, aplicando na derivada direcional, obtemos:

D u f 1,2 , 3 = 4 i + 13 j + 4 k * 1 3 2 i - j + 2 k ∴

D u f 1,2 , 3 = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u f 1,2 , 3 = 1

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas