Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.

d)

h r , s , t = ln ⁡ 3 r + 6 s + 9 t ,   1,1 , 1 ,   v = 4 i + 12 j + 6 k

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a derivada direcional de h num ponto r , s , t na direção do vetor v → .

Por definição, temos que a derivada direcional de h num ponto r , s , t na direção u → unitário qualquer é dada por:

D u h r , s , t = ∇ h r , s , t ∙ u →

No nosso caso, o vetor v → não está normalizado, portanto:

u → = v → v → ∴

u → = 4 i + 12 j + 6 k 4 2 + 12 2 + 6 2 ∴

u → = 1 14 4 i + 12 j + 6 k

Agora vamos descobrir o nosso gradiente para depois substituir na fórmula!!

Passo 2

Nesse sentido, tomando o gradiente de h , temos:

∇ h r , s , t = 3 3 r + 6 s + 9 t i + 6 3 r + 6 s + 9 t j + 9 3 r + 6 s + 9 t k

No ponto r , s , t = 1 , 1,1 , temos:

∇ h 1 , 1,1 = 3 18 i + 6 18 j + 9 18 k ∴

∇ h 1,1 , 1 = 1 6 i + 1 3 j + 1 2 k

Assim, aplicando na derivada direcional, obtemos:

D u h 1 , 1,1 = 1 6 i + 1 3 j + 1 2 k * 1 14 4 i + 12 j + 6 k ∴

D u h 1,2 , 3 = 23 42

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D u h 1,2 , 3 = 23 42

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas