Determine o gradiente de f , calcule o gradiente no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u:

a)

f x , y = x y , P 2,1 ,   u = 3 5 i - 4 5 j

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede três coisinhas:

  1. O gradiente de f , que é dado da seguinte forma:
  2. ∇ f x , y = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

  3. O gradiente no ponto P (aqui basta a gente substituir pelo ponto dado no enunciado)
  4. a taxa de variação de f em P na direção do vetor u , ou seja, a seguinte derivada direcional:

D u f x , y = ∇ f x , y ∙ u

Agora vamos lá resolver cada um!!

Passo 2

Para o gradiente de f , sabemos que:

f x , y = x y

Logo, temos as seguintes derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 1 y

∂ f ∂ y = - x y 2

Dessa forma, substituindo as derivadas parciais no gradiente, encontramos:

∇ f x , y = 1 y i - x y 2 j

Assim, aplicando o gradiente que acabamos de calcular para o ponto x , y = 2,1 , temos:

∇ f 2,1 = 1 1 i - 2 1 2 j ∴

∇ f 2,1 = 1 i - 2 j

Passo 3

Agora, para determinarmos a derivada direcional, temos que o nosso vetor u é:

u = 3 5 i - 4 5 j

Dessa forma, substituindo na fórmula da derivada direcional com o gradiente que já calculamos no ponto desejado, iremos obter:

D u f 2,1 = ∇ f 2,1 ∙ u ∴

D u f 2,1 = 1 i - 2 j ∙ 3 5 i - 4 5 j ∴

D u f 2,1 = - 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∇ f x , y = 1 y i - x y 2 j

∇ f 2,1 = 1 i - 2 j

D u f 2,1 = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas