Determine o gradiente de f , calcule o gradiente no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u:

b)

f x , y , z = x 2 y z - x y z 3 , P 2 , - 1 , 1 ,   u = 0 , 4 5 , - 3 5  

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede três coisinhas:

  1. O gradiente de f , que é dado da seguinte forma:
  2. ∇ f x , y = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

  3. O gradiente no ponto P (aqui basta a gente substituir pelo ponto dado no enunciado)
  4. a taxa de variação de f em P na direção do vetor u , ou seja, a seguinte derivada direcional:

D u f x , y , z = ∇ f x , y , z ∙ u

Agora vamos lá resolver cada um!!

Passo 2

Para o gradiente de f , sabemos que:

f x , y , z = x 2 y z - x y z 3

Logo, temos as seguintes derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 2 x y z - y z 3

∂ f ∂ y = x 2 z - x z 3

∂ f ∂ z = x 2 y - 3 x y z 2

Dessa forma, substituindo as derivadas parciais no gradiente, encontramos:

∇ f x , y , z = 2 x y z - y z 3 i + x 2 z - x z 3 j + x 2 y - 3 x y z 2 k

Assim, aplicando o gradiente que acabamos de calcular para o ponto x , y , z = 2 , - 1,1 , temos:

∇ f 2 , - 1,1 = 2 * 2 * - 1 * 1 - - 1 * 1 3 i + 2 2 * 1 - 2 * 1 3 j + 2 2 - 1 - 3 * 2 * - 1 * 1 2 k ∴

∇ f 2 , - 1,1 = - 3 i + 2 j + 2 k

Passo 3

Agora, para determinarmos a derivada direcional, temos que o nosso vetor u é:

u = 0 , 4 5 , - 3 5   ∴

u = 0 i + 4 5 j - 3 5 k

Dessa forma, substituindo na fórmula da derivada direcional com o gradiente que já calculamos no ponto desejado, iremos obter:

D u f 2 , - 1,1 = ∇ f 2 , - 1,1 ∙ u ∴

D u f 2 , - 1,1 = - 3 i + 2 j + 2 k ∙ 0 i + 4 5 j - 3 5 k ∴

D u f 2 , - 1,1 = 2 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∇ f x , y , z = 2 x y z - y z 3 i + x 2 z - x z 3 j + x 2 y - 3 x y z 2 k

∇ f 2 , - 1,1 = - 3 i + 2 j + 2 k

D u f 2 , - 1,1 = 2 5

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