Determine todos os pontos de R2 nos quais a direção de maior variação da função f x , y = x 2 + y 2 - 2 x - 4 y é do vetor ( 1,1 ) .

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Yuri aqui, e agora iremos começar a resolver essa querida questão.

Para encontrar qual a direção a taxa de variação de uma função é máxima, precisamos calcular o gradiente desta função. Então vamos começar,

∂ f ∂ x x , y = 2 x - 2

∂ f ∂ y x , y = 2 y - 4

Queremos então os pontos x 0 ,   y 0 tais que ∇ f x 0 , y 0   é paralelo a ( 1,1 ) . Então temos que fazer:

∇ f x 0 , y 0 = 2 x 0 - 2 ,   2 y 0 - 4 = λ 1,1

Passo 2

2 x 0 - 2 ,   2 y 0 - 4 = λ 1,1

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2 x 0 - 2 = λ

2 y 0 - 4 = λ

Igualando

2 x 0 - 2 = 2 y 0 - 4

x 0 = y 0 - 1

y 0 = x 0 + 1

Então todos os pontos desta reta fazendo parte da nossa solução

Resposta

Todos os pontos da reta y 0 = x 0 + 1

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas