Questão 4 – Calcule D u f 1,1 , onde

f x , y = e x 2 - y 2

E u é o versor de 3,4 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos uma função dada por f x , y = e x 2 - y 2 e precisamos calcular a derivada direcional de f no ponto 1,1 na direção do vetor unitário de 3,4 .

A ideia é curtinha, mas tem ideia de como podemos fazer isso? 🤔🤔

A derivada direcional nos diz qual é a taxa de crescimento ou decaimento de uma função em uma determinada direção u .

No caso, u é o vetor unitário do vetor 3,4 e D u f a , b é dado por

D u f a , b = u 1 · ∂ f a , b ∂ x + u 2 · ∂ f a , b ∂ y

Deu pra dar uma ideia? 👀

Bora começar!

Passo 2

Primeiro vamos obter o vetor unitário u .

Se o vetor direcional é dado por 3,4 o seu versor (vetor unitário) é dado por ele dividido por ele mesmo, ou seja, por ele, dividido pelo seu módulo.

u = 3,4 3 2 + 4 2

u = 3,4 25

Com isso, temos que

u = 3,4 5 = 3 5 , 4 5

Dessa forma, u 1 é 3 / 5 e u 2 é 4 / 5 .

Agora temos que obter as derivadas parciais de f com relação a x e relação a y .

Primeiro com relação a x

∂ f ∂ x = ∂ e x 2 - y 2 ∂ x

Aplicando a regra da cadeia substituindo x 2 - y 2 por u , temos

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - y 2 ∂ x · ∂ e u ∂ u

Derivamos x 2 - y 2 pelo método de derivação polinomial e e u , pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que é igual a ele mesmo, ou seja, igual a e u .

∂ f ∂ x = 2 · x 2 - 1 - 0 y 2 · e u

Simplificando e substituindo u por x 2 - y 2

∂ f ∂ x = 2 x e x 2 - y 2

Guarda esse resultado que já voltamos nele.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora temos que derivar f em relação a y

∂ f ∂ y = ∂ e x 2 - y 2 ∂ y

Aplicando a regra da cadeia pelo mesmo jeito da derivada anterior, temos

∂ f ∂ y = ∂ x 2 - y 2 ∂ y · ∂ e u ∂ u

A derivada de e u já sabemos, mas a derivada de x 2 - y 2 com relação a y vamos obter pelo método da derivação polinomial.

∂ f ∂ y = 0 x 2 - 2 · y 2 - 1 · e u

Simplificando e substituindo u por x 2 - y 2 , temos

∂ f ∂ y = - 2 y e x 2 - y 2

Interessante, não é? 👀

Estamos chegando no fim!

Passo 4

Antes de substituir os resultados na formula da derivada direcional, temos que aplicar o ponto que estamos interessados nos valores das derivadas.

No caso, esse ponto é o ponto 1,1 , portanto na derivada parcial de f com relação a x

∂ f ∂ x = 2 x e x 2 - y 2

∂ f 1,1 ∂ x = 2 1 e 1 2 - 1 2

Resultando em

∂ f 1,1 ∂ x = 2

Agora o mesmo para a derivada de f com relação a y

∂ f ∂ y = - 2 y e x 2 - y 2

Aplicando o ponto 1,1

∂ f 1,1 ∂ y = - 2 1 e 1 2 - 1 2

∂ f 1,1 ∂ y = - 2

Agora sim temos todos os resultados necessários para obter a derivada direcional.

D u f 1,1 = u 1 · ∂ f 1,1 ∂ x + u 2 · ∂ f 1,1 ∂ y

D u f 1,1 = 3 5 · 2 + 4 5 · - 2

Portanto, a derivada direcional de f no ponto 1,1 na direção do versor de 3,4 é

D u f 1,1 = 6 5 - 8 5

D u f 1,1 = - 2 5

Ou seja, nesse ponto e nessa direção, a função descresse a uma taxa de 2 5 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D u f 1,1 = - 2 5

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