Questão para preenchimento numérico. Utilize aproximações corretas até a terceira casa decimal e o separador decimal pode ser “.” Ou “,”.

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável em ( 2 , - 3 ) tal que f 2,3 = - 1 . Sabe-se também que ∂ f ∂ u → 2 , - 3 = - 1 e ∂ f ∂ v → 2 , - 3 = 1 , onde u → = 3 13 , - 2 13 e v → = - 2 13 , - 3 13 . A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( 2 , - 3 , - 1 ) é _____.

O valor máximo que uma derivada direcional de f no ponto ( 2 , - 3 ) assume é ____.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Resolver esta questão significa preencher as lacunas no enunciado. Ou seja, queremos saber a equação do plano tangente no ponto em questão e o valor máximo da derivada direcional de f no ponto pedido. A equação do plano pode ser obtida levando em consideração

π : z - z 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ x - x 0 , y - y 0

Mas para obter estes coeficientes precisaremos lembrar que

∂ f ( x , y ) ∂   u → = ∇ f x , y ⋅ u →

O que tem validade tanto para os versores u → , quanto para v → . A derivada máxima está relacionada aa direção de maior (menor) crescimento da função, sendo isso obtido calculando

∇ f ( x , y )

E o valor máximo é ∇ f x , y . Vamos usar estas informações e tentar resolver a questão!

Passo 2

Primeiro vamos utilizar

∂ f ( x , y ) ∂   u → = ∇ f x , y ⋅ u →

Temos que no ponto ( 2 , - 3 ) , esta expressão tem o seguinte valor

∂ f ( 2 , - 3 ) ∂   u → = ∇ f 2 , - 3 ⋅ u → = - 1

Usando u → dado no enunciado podemos escrever

∇ f 2 , - 3 ⋅ 3 13 , - 2 13 = - 1 → 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ x - 2 ∂ f 2 , - 3 ∂ y = - 13             1

Isso ainda não é o suficiente para resolvermos nosso problema! Vamos fazer o mesmo para a outra derivada direcional dada!

Passo 3

Temos agora que

∂ f ( 2 , - 3 ) ∂   v → = ∇ f 2 , - 3 ⋅ v → = 1

Ou seja, assim como fizemos no passo anterior, utilizando v → dado no enunciado

∇ f 2 , - 3 ⋅ - 2 13 , - 3 13 = 1 → - 2 ∂ f 2 , - 3 ∂ x - 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ y = 13             ( 2 )

Conseguimos então 2 equações para 2 parâmetros, que são as nossas componentes do gradiente da função no ponto ( 2 , - 3 ) . Vamos resolver este sisteminha!

Passo 4

Da equação (1) podemos escrever que

3 ∂ f 2 , - 3 ∂ x - 2 ∂ f 2 , - 3 ∂ y = - 13 → ∂ f 2 , - 3 ∂ x = - 13 3 + 2 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ y           ( 3 )

Se substituir este resultado na equação (2), vamos obter

→ - 2 ∂ f 2 , - 3 ∂ x - 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ y = 13 → - 2 - 13 3 + 2 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ y - 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ y = 13

Juntando os termos de derivada nós obtemos

- 13 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ y = 13 3 → ∂ f 2 , - 3 ∂ y = - 13 13

Que pode ser racionalizada e simplificada para dar

∂ f 2 , - 3 ∂ y = - 1 13           ( 4 )

Podemos utilizar este resultado para achar nosso outro componente!

Passo 5

Voltando com (4) na equação (3), temos

∂ f 2 , - 3 ∂ x = - 13 3 + 2 3 ∂ f 2 , - 3 ∂ y = - 13 3 + 2 3 - 13 13

Calculando o valor explícito, temos

∂ f 2 , - 3 ∂ x = 13 3 - 1 - 2 13 = - 15 13 39

Que se racionalizarmos e simplificarmos nos reduz a

∂ f 2 , - 3 ∂ x = - 5 13           ( 5 )

Vamos utilizar (4) e (5) para encontrar a equação do nosso plano! Bora lá!

Passo 6

Temos que em conjunto, os componentes (4) e (5), nos permitem escrever

∇ f 2 , - 3 = - 5 13 , - 1 13

E se voltarmos para nossa equação do plano com ( x 0 = 2 , y 0 = - 3 , z 0 = - 1 ) , temos

π : z - z 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ x - x 0 , y - y 0 → π : z + 1 = - 5 13 , - 1 13 ⋅ ( x - 2 , y + 3 )

Beleza! Agora só precisamos achar nossa derivada máxima! Vem comigo!

Passo 7

O valor máximo da derivada direcional vai ser dado pelo módulo do gradiente no ponto, e portanto, apenas precisamos calcular

∇ f 2 , - 3 = - 5 13 2 + - 1 13   2 = 25 13 + 1 13

Ou, resolvendo as operações

∇ f 2 , - 3 = 2 ≈ 1,414

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

π : z + 1 = - 5 13 , - 1 13 ⋅ ( x - 2 , y + 3 )

∇ f 2 , - 3 ≈ 1,414

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