Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 9

Seja C uma curva dada implicitamente por f x , y = 2 , para alguma função f continuamente diferenciável, e seja P um ponto em C . Considere vetores

u = 3 5 , 4 5

v = - 4 5 , 3 5

E suponha que D u f P = 5 e que v seja tangente a C em P . Neste caso

f x P + f y ( P )

vale

a 5

b 4 / 5

c 7

d - 3

e 4

Passo 1

Vamos por partes.

Vamos começar vendo o que a gente pode tirar dessa informação de derivada direcional.

A fórmula da derivada direcional é:

D u → f P = ∇ f P . u → u →

O vetor u → nós sabemos e o valor da derivada direcional também. Nesse caso, nossa incógnita fica sendo as derivadas parciais de f ( P ) , que é exatamente o que queremos descobrir.

Substituindo o que temos, ficamos com:

D u → f P = f x P , f y P . 3 5 , 4 5 3 5 2 + 4 5 2 = 5

f x P , f y P . 3 5 , 4 5 1 = 5

3 f x P 5 + 4 f y P 5 = 5

3 f x P + 4 f y P = 25

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show.

Agora a outra informação é que v → = - 4 5 , 3 5 é um vetor tangente a curva de nível 2 da função f ( x , y ) .

Sabemos, das propriedades geométricas do vetor gradiente, que ele é perpendicular a curva de nível de uma função.

Assim, o vetor gradiente de f , que é o que queremos saber, é perpendicular ao vetor v → .

Isso significa que o produto escalar entre eles tem que ser nulo.

Então

f x P , f y P ∙ - 4 5 , 3 5 = 0

- 4 f x P 5 + 3 f y P 5 = 0

- 4 f x P + 3 f y P = 0

Passo 3

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas

3 f x P + 4 f y P = 25

- 4 f x P + 3 f y P = 0

Da segunda equação:

f x = 3 f y 4

Substituindo na primeira:

3 ∙ 3 f y 4 + 4 f y = 25

9 f y + 16 f y 4 = 25

25 f y = 100

f y P = 4

Então,

f x P = 3.4 4 = 3

Assim,

f x P + f y P = 3 + 4 = 7

Resposta

Letra c

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