Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

USP, Cálculo 2, P-SUB - 2017, Questão 1

Seja f   : R 2 R dada por

f x , y = x 3 + 2 y 3 x 2 + y 2 ,     s e   x , y ( 0,0 ) 0 ,     s e   x , y = ( 0,0 )

(a) Determine, caso existam, f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) .

(b) A função f é diferenciável em ( 0,0 ) ?

(c) Determine, caso exista, a derivada direcional f u ( 0,0 ) para u = 2 2 , 2 2

Passo 1

a )

Vamos calcular as derivadas parciais em ( 0,0 ) ? Vamos começar com f x ( 0,0 ) , fazendo esse limite:

f x 0,0 = lim x 0 f x , 0 - f 0,0 x - 0

O que na nossa função estranha vai dar:

l i m x 0 x 3 + 2 . 0 3 x 2 + 0 2 - 0 x = l i m x 0 x x = 1

Perfeito, então

f x 0,0 = 1

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Passo 2

Firmeza, agora vamos pra derivada parcial em relação a y :

f y 0,0 = lim y 0 f 0 , y - f 0,0 y - 0

O que vai dar:

l i m y 0 0 3 + 2 y 3 0 2 + y 2 - 0 y = 2 y y = 2

Portanto

f y 0,0 = 2

Passo 3

b )

Achamos as derivadas parciais em ( 0,0 ) mas infelizmente isso não garante a diferenciabilidade da função nesse ponto. Para isso vamos ter que verificar se esse limitão bizarro abaixo é realmente igual a zero.

lim h , k 0 f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - f x 0,0 h - f y 0,0 k h , k = 0

O limite vai ficar:

lim h , k 0 h 3 + 2 k 3 h 2 + k 2 - 0 - 1 . h - 2 . k h 2 + k 2

Passo 4

Vish, tá meio esquisito isso daí né? Mas pode ficar tranquilo! Vamos primeiro assumir que o limite não dá 0 .

Lembra que em funções de várias variáveis podemos chegar em um limite por infinitos caminhos?! Então, basta verificar que um caminho não dá certo pra provar que o limite está errado! Vamos escolher um caminho que facilite nossas contas, como h = k . Assim vamos ter:

lim h 0 h 3 + 2 h 3 h 2 + h 2 - 0 - 1 . h - 2 . h h 2 + h 2 = l i m h 0 3 h 3 2 h 2 - 3 h 2 h 2 = l i m h 0 - 3 h 2 2 h 2 = l i m h 0 - 3 h 2 2 h 2

Quando esse h 2 sai da raíz ele sai como | h | , assim:

l i m h 0 - 3 h 2 2 h 2 = l i m h 0 - 3 h 2 2 h

Assim, se h > 0 h = h e teremos:

l i m h 0 - 3 h 2 2 h = l i m h 0 - 3 2 2 = - 3 2 2

Já se h < 0 h = - h e teremos:

l i m h 0 - 3 h 2 2 ( - h ) = l i m h 0 3 2 2 = 3 2 2

Ou seja, achamos dois resultados diferentes pro limite. Isso significa que ele não pode existir.

E se esse limitão não existe, ele obviamente não pode ser igual a zero.

Mas lembra que pra nossa função ser diferenciável esse limitão tinha que dar zero?

Quer dizer então que nossa função não é diferenciável na origem.

Passo 5

c )

Agora temos que determinar a derivada direcional f u ( 0,0 ) para u = 2 2 , 2 2 .

Mas, da letra b , já sabemos que nossa f não é diferenciável em ( 0,0 ) , o que significa, que pra calcular essa derivada direcional, teremos que usar a definição de derivada direcional. Assim:

f u P 0 = lim t 0 f P 0 + t u - f P 0 t u

Substituindo os dados do problema:

f u 0,0 = lim t 0 f 0,0 + t 2 2 , 2 2 - f 0,0 t 2 2 , 2 2

f u 0,0 = lim t 0 f 2 2 t , 2 2 t - f 0,0 t 2 2 2 + 2 2 2

f u 0,0 = lim t 0 2 2 t 3 + 2 2 2 t 3 2 2 t 2 + 2 2 t 2   - 0 1 t

f u 0,0 = lim t 0 3 2 2 3 t 3   t 3 = 3 2 2 2 2 3 = 3 2 4

Resposta

a )

f x 0,0 = 1 e f y 0,0 = 2

b )

Não.

c )  

f u 0,0 = 3 2 4

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