Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Determine os vetores unitários u de modo que a taxa de variação de T no ponto P na direção de u seja dada por - 8 ℃ / c m .

Passo 1

Agora temos que achar os vetores unitários u cuja derivada direcional no ponto P seja -8.

Digamos u = u 1 , u 2 . A derivada direcional de u no ponto P é dada por:

∂ T ∂ u P = ∇ T P ⋅ u u

O vetor u é unitário, logo u = u 1 2 + u 2 2 = u 1 2 + u 2 2 = 1 . Então

∂ T ∂ u P = - 8 , - 8 ⋅ u 1 , u 2

⇒ ∂ T ∂ u P = - 8 u 1 - 8 u 2

E queremos

∂ T ∂ u P = - 8

Logo

- 8 u 1 - 8 u 2 = - 8

⇒   - 8 u 1 + u 2 = - 8

⇒ u 1 + u 2 = 1

Lembrando que u é unitário, temos

u 1 2 + u 2 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim obtemos o sistema:

u 1 2 + u 2 2 = 1 u 1 + u 2 = 1

A segunda equação nos dá:

u 2 = 1 - u 1

Substituindo na primeira:

u 1 2 + 1 - u 1 2 = 1

u 1 2 + 1 - 2 u 1 + u 1 2 - 1 = 0

2 u 1 2 - 2 u 1 = 0

u 1 2 = u 1

⇒ u 1 = 1     o u     u 1 = 0

Ou seja

u 2 = 0     o u     u 2 = 1

Portanto, achamos 2 vetores u : 1,0 e 0,1 .

Resposta

u = 1,0   o u   u = ( 0,1 )

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