Seja f uma função diferenciavel em R 2 tal que γ t = ( t + 1 , - t 2 ) , para todo t   ∈ R é uma curva de nível de f. Sabendo que ∂ f ∂ x - 1 , - 4 = 2 , determine a derivada direcional de f no ponto - 1 , - 4 e na direção e sentido do vetor u → = ( 3 5 , 4 5 ) .

Passo 1

Para determinar a derivada direcional de f no ponto (−1,−4) na direção e sentido do veto   u → = ( 3 5 , 4 5 ) . , você pode usar a seguinte fórmula para a derivada direcional:

D u f a , b = ∇ f a , b ∙ u

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente de f em (−1,−4). O gradiente de f é um vetor que aponta na direção de aumento mais rápido de f e tem as seguintes componentes:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Passo 2

Dado que ∂ f ∂ x - 1 , - 4 = 2 , precisamos encontrar ∂ f ∂ y - 1 , - 4 = 2 . A curva de nível γ ( t ) = ( t + 1 , - t 2 ) está contida na curva de nível de f no ponto (−1,−4), o que significa que γ ( t ) é uma solução para f ( x , y ) = c o n s t a n t e em torno desse ponto. Portanto, podemos escrever:

d d t f t + 1 , - t 2 = 0

∂ f ∂ x t + 1 , - t 2 ∙ d d t t + 1 + ∂ f ∂ y t + 1 , - t 2 ∙ d d t - t 2 = 0

∂ f ∂ x - 2 + 1 , - 4 1 + ∂ f ∂ y - 2 + 1 , - 4 ∙ - 2 - 2 = 0

2 + ∂ f ∂ y - 1 , - 4 4 = 0

∂ f ∂ y - 1 , - 4 = - 1 2

Passo 3

Agora finalmente poderemos calcular a derivada direcional,

D u = 2 3 5 + 4 5 - 1 2

= 6 5 - 2 5

= 4 5

Resposta

= 4 5

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas