Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Seja

f x , y = x 2 sen ⁡ ( x + y ) 2 x 2 + y 2     s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0       s e   x , y = ( 0,0 )

  1. Determine as funções ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0.0 .
  2. f é diferenciável em ( 0,0 ) ?
  3. Calcule ∂ f ∂ u → 0,0 para u → = 2 2 , 2 2

Passo 1

a )

Opa, temos uma função definida por partes e que vale zero no ponto ( 0,0 ) , que é o ponto que queremos calcular as derivadas parciais. Não dá pra simplesmente derivar o zero, né?!

Então, aqui, vamos usar a definição de derivadas parciais.

Ficamos, então, com:

Para derivada parcial em relação a x ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 x 2 sen ⁡ ( x + 0 ) 2 x 2 + 0 2 - 0 x = l i m x → 0 sen ⁡ ( x ) 2 x

Repare que esse

l i m x → 0 sen ⁡ ( x ) x

É um limite fundamental trigonométrico e vale 1.

Como temos esse 2 no denominador também, na real, nosso limite vai ficar:

l i m x → 0 1 2 ∙ sen ⁡ x x = 1 2

Agora, para a derivada parcial em relação a y ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = l i m y → 0 0 2 sen ⁡ ( 0 + y ) 2 . 0 2 + y 2     - 0 y = l i m y → 0 0 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Como as derivadas parciais de f existem em ( 0,0 ) , para saber se f é diferenciável ou não, temos que analisar se:

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2 = 0

As derivadas parciais em ( 0,0 ) nós já temos da letra a . Substituindo tudo então, ficamos com:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 sen ⁡ h + k 2 h 2 + k 2     - 0 - 1 2 h - 0 . k h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 sen ⁡ h + k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2 - h 2 h 2 + k 2

Que limite esquisitão né? Bora tentar provar que ele não existe, então!?

Vamos tentar calcular esse limite pelo caminho h = 0 :

lim h , k → 0,0 ⁡ 0 2 sen ⁡ h + 0 2 . 0 2 + k 2 0 2 + k 2 - 0 2 0 2 + k 2 = 0

Agora vamos tentar calcular pelo caminho h = k :

lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 sen ⁡ h + h 2 h 2 + h 2 h 2 + h 2 - h 2 h 2 + h 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h 2 sen ⁡ 2 h 3 h 2 2 h 2 - h 2 2 h 2

Simplificando umas coisinhas, ficamos com:

lim h , k → 0,0 ⁡ 1 3 . sen ⁡ 2 h 2 h - h 2 2 h

Só de ter módulo aí no limite, a gente nem precisa resolver pra saber que, dependendo se o h for maior do que zero ou menor do que zero, esse limite já vai ter dois valores diferentes. E mesmo que a primeira parte desse limite desse zero, a segunda parte daria ± 1 2 2 , ou seja, já daria diferente de zero, que foi o que a gente achou quando usou o caminho h = 0 .

Dessa forma, como temos 3 valores diferentes pro limite, dependendo do caminho, então esse limite não existe.

E se esse limite não existe, não é igual a zero (dã), então a função f não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Passo 3

c )

Como já sabemos que a função não é diferenciável, vamos ter que usar a definição de derivada direcional. Assim

∂ f ∂ u → P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Substituindo nossos dados:

∂ f ∂ u → 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0,0 + t 2 2 , 2 2 - f 0,0 t 2 2 , 2 2

Temos

u = 2 2 , 2 2

u = 2 2 2 + 2 2 2 = 1

O limite vai ficar

∂ f ∂ u 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 2 2 t , 2 2 t - 0 t = lim t → 0 ⁡ 2 2 t 2 sen ⁡ ( 2 2 t + 2 2 t ) 2 2 2 t 2 + 2 2 t 2 t = lim t → 0 ⁡ 2 t 2 4 sen ⁡ ( 2 t ) 3 . 2 t 2 4 t

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ ( 2 t ) 3 t

Passo 4

Beleza, temos esse limite aqui pra resolver então:

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ ( 2 t ) 3 t

A gente pode multiplicar em cima e em baixo por 2 , que ai a gente vai ter uma fração, cujo argumento do seno se repete no denominador. E esse é o melhor dos mundos, porque isso é um limite fundamental da trigonometria, que já sabemos que vale um. Quer dizer, ficamos com isso daqui:

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ ( 2 t ) 2 t ∙ 2 3 = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ X X ∙ 2 3 = 1 ∙ 2 3 = 2 3

Pronto, resolvemos

Resposta

a )

∂ f ∂ x = 1 2

∂ f ∂ y = 0

b ) f não é diferenciável em ( 0,0 )

c ) ∂ f ∂ u → 0,0 = 2 3  

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