Suponha que uma alpinista esta escalando um morro cujo formato é dado pela equação z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2 onde x , y , z são dados em metros, e a alpinista esteja no ponto ( 50,80,847 ) . O eixo positivo dos x aponta para o leste e o eixo positivo dos y aponta para o norte.

Se a alpinista caminhar para o sul:

  1. Ela irá subir a uma taxa de 2.2 metros verticais por metros horizontais
  2. Ela irá descer a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais
  3. Ela irá descer a uma taxa de 2.2 metros verticais por metros horizontais
  4. Ela irá subir a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais
  5. Ela permanecerá no mesmo nível

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado contou uma história sobre uma alpinista e perguntou o que acontece com ela se ela andar em determinada direção, isso só tem um cheiro: de derivada direcional!

A derivada direcional é dada por:

∂ F ∂ v = ∇ → F ⋅ v → v →

Como o enunciado disse que o eixo positivo de y aponta para o norte, então, caminhar para o sul é a mesma coisa que ir no sentido negativo do eixo y , ou seja, na direção do vetor v → = 〈 0 , - 1,0 〉 .

Então a gente precisa achar o gradiente da função de superfície F x , y , z = z - f x , y , aplicar no ponto dado, e fazer o produto escalar com o vetor que dá a direção do movimento.

Mas calma! Vou fazer juntinho com você! Cola comigo e vamos lá!

Passo 2

A função F é:

F x , y , z = z - f x , y = z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2

E o gradiente é:

∇ → F = ∂ F ∂ x i ^ + ∂ F ∂ y j ^ + ∂ F ∂ z k ^

Vamos encontrar uma componente de cada vez:

∂ F ∂ x i ^ = ∂ ∂ x z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2 i ^ = 0,02 x

∂ F ∂ y j ^ = ∂ ∂ y z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2 j ^ = 0,04 y

∂ F ∂ z k ^ = ∂ ∂ z z - 1000 + 0,01 x 2 + 0,02 y 2 k ^ = 1

Assim,

∇ → F = 0,02 x ;   0,04 y ; 1

Beleza?

Passo 3

Agora vamos aplicar esse vetor o ponto dado P ( 50,80,847 ) :

∇ → F = 0,02 x ;   0,04 y ; 1

∇ → F 50,80,847 = 〈 1 ; 3,2 ; 1 〉

E a direção do movimento é:

v → = 〈 0 , - 1,0 〉

Normalmente a gente teria que normalizar esse vetor, mas repara só, ele já é unitário. Então

v → v → = v → = 〈 0 , - 1,0 〉

Passo 4

E agora fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e vetor direção:

∂ F ∂ v = 1 ; 3,2 ; 1 ⋅ 〈 0 , - 1,0 〉

∂ F ∂ v = - 3,2

Portanto a resposta correta é: Ela irá descer a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais

Letra (b)

Beleza?

Resposta

( b ) Ela irá descer a uma taxa de 3.2 metros verticais por metros horizontais

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas