A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por T x , y , z = 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 onde T é medido em graus Celsius e x , y , z   em metros.

A taxa de variação da temperatura no ponto P ( 2 , - 1,2 ) em direção ao ponto P 2,1 , 3 é:

  1. - 960 5 e 43
  2. 4800 5 e 43
  3. - 960 5 5 e 43
  4. - 4800 5 e 43
  5. 960 5 e 43
  6. 4800 e 43 5

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu a taxa de variação da função na direção de um vetor, isso só tem um cheiro: de derivada direcional!

Como relembrar é viver, a derivada direcional é:

∂ f ∂ v = ∇ → f ⋅ v → v →

Assim precisamos:

  1. Calcular o gradiente da função e aplicar no ponto
  2. Normalizar o vetor dado
  3. Fazer o produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor normalizado

Vamos nessa?

Passo 2

O gradiente da função T é:

∇ → T = ∂ T ∂ x i ^ + ∂ T ∂ y j ^ + ∂ T ∂ z k ^

∇ → T = ∂ ∂ x 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 i ^ + ∂ ∂ y 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 j ^ + ∂ ∂ z 200 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 k ^

∇ T = - 400 x e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 ;   - 1200 y e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2 ;   - 3600 e - x 2 - 3 y 2 - 9 z 2

E agora vamos aplicar no ponto dado P 2 , - 1,1 :

∇ T 2 , - 1,1 = - 400 . 2 . e - 2 2 - 3 - 1 2 - 9 . 1 2 ;   - 1200 ( - 1 ) e - 2 2 - 3 ( - 1 ) 2 - 9 . 1 2 ;   - 3600 e - 2 2 - 3 - 1 2 - 9 . 1 2

∇ T 2 , - 1,1 = 〈 - 800 e - 43 ; 1200 e - 43 ; 7200 e - 43 〉

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos calcular a normalização do vetor!

O vetor é na direção do ponto ( 2,1 , 3 ) , então o vetor é:

v → = 2,1 , 3 - 2 , - 1,1 = 〈 0,2 , 1 〉

A norma desse vetor é:

v → = 0 2 + 2 2 + 1 2 = 5

E o vetor normal que dá a direção da taxa que queremos é:

v → v → = 0,2 , 1 5

Passo 4

Agora pra finalizar, vamos fazer o produto escalar entre os vetores:

∂ T ∂ v = - 800 e - 43 ; 1200 e - 43 ; 7200 e - 43 ⋅ 0,2 , 1 5 =

∂ T ∂ v = 0 - 2 5 . 1200 e - 43 - 7200 e - 43 5

∂ T ∂ v = - 4800 e - 43 5

E pra finalizar vamos racionalizar esse resultado:

∂ T ∂ v = - 4800 e - 43 5 × 5 5 = - 960 5 e 43

Alternativa correta é ( e ) .

Resposta

( e )

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Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas