Uma arma dispara um projétil de massa m com velocidade v 0 (medida em relação à arma) formando um ângulo θ com a horizontal. O ponto de disparo está situado a uma altura h acima do solo.

a) Quais são as forças que atuam no projétil na posição de altura máxima e imediatamente antes de atingir o solo? Despreze os efeitos de resistência do ar.

b) Calcule a altura máxima do projétil, medida com relação ao solo.

c) Se em t = 0 a arma é abandonada em queda livre da altura h a partir do repouso. Qual é a altura máxima atingida pelo projétil, medida com relação ao solo, se o disparo acontece no tempo t = t 0 > 0 ?

Obs.: Dê suas respostas em função dos dados do problema e de g , somente.

Passo 1

a)

Em ambos os casos, temos apenas a presença da força peso. Inclusive durante todo o trajeto.

P → = - m g   j ^

Passo 2

b)

Basta utilizar a nossa conhecida fórmula:

y m á x = y 0 + v 0 y t m á x - g t m á x 2 2

Lembrando que na altura máxima o v y = 0 então podemos encontrar o t m á x com:

v y = v 0 y - g t m á x

t m á x = v 0 y g

Logo, substituindo na fórmula:

y m á x = h + v 0 y . v 0 y g - 1 2 g v 0 y g 2 = h + v 0 y 2 2 g

y m á x = h + v 0 2 sen 2 ⁡ θ 2 g

Passo 3

c)

Utilizando a fórmula:

v = v 0 + a t

Temos que a velocidade inicial da arma é nula e sua aceleração é - g .

v a r m a = - g t 0

Para o projétil teremos então que a sua velocidade inicial será dada por:

v 0 y ' = v 0 sen ⁡ θ - g t 0

Lembrando que a posição no momento de disparo é dada por:

S = s 0 + v 0 t - g t 2 2

Substituindo:

y 0 ' = h - g t 0 2 2

No item b descobrimos que:

y m á x = y 0 + v 0 y 2 2 g

Substituindo agora o novo y 0 e v 0 :

y m á x = y 0 ' + v 0 y ' 2 2 g = h - g t 0 2 2 + v 0 sen ⁡ θ - g t 0 2 2 g

Resposta

a) P → = - m g   j ^

b)

y m á x = h + v 0 2 sen 2 ⁡ θ 2 g

c)

y m á x = h - g t 0 2 2 + v 0 sen ⁡ θ - g t 0 2 2 g

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