Um projétil é lançado do nível do chão com uma rapidez inicial de 53   m / s . Encontre o ângulo de lançamento ( o ângulo que a velocidade inicial forma acima da horizontal) de forma que a altura máxima do projétil seja igual ao seu alcance horizontal. (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Vamos entender o problema fazendo um desenho da situação, o projétil é lançado com velocidade v 0 = 53 m / s e o problema pede o ângulo de inclinação θ para que o alcance e a altura sejam iguais, dessa forma temos a seguinte situação.

Beleza, se eu sei disso agora preciso encontrar uma relação entre a altura e o alcance ∆ x , vamos fazer isso decompondo a velocidade e analisando os dois movimentos, vertical e horizontal.

Passo 2

Vamos decompor as velocidades, usando as seguintes relações:

v x = v 0 c o s θ

v 0 y = v 0 s e n ( θ )

E aqui separamos os movimentos, o movimento horizontal é um movimento uniforme e portanto o alcance é dado por:

∆ x = v x t = v 0 c o s θ t T

Aonde t T é o tempo total do movimento, isso é, até o projétil chegar ao solo.

Já o movimento vertical é um pouquinho diferente, temos a gravidade desacelerando, portanto temos um movimento uniformemente variado. Pra encontrar a altura máxima, podemos aplicar a equação de torricelli.

v y 2 = v 0 y 2 - 2 g h

Só que aqui a velocidade no ponto da altura máxima é v y = 0 e portanto:

0 = v 0 y 2 - 2 g h

v 0 y 2 = 2 g h

Isolando h e lembrando que v 0 y = v 0 s e n ( θ )

h = v 0 y 2 2 g

h = v 0 2 s e n 2 θ 2 g

Agora é só igualar as equações para esses carinhas aqui:

h = Δ x

v 0 2 s e n 2 θ 2 g = v 0 c o s θ t T

Cortando os termos semelhantes temos o seguinte:

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = t T

Putz, mas e esse t T aí, o que eu faço com ele?

Ele é o tempo total do lançamento, e é o único termo que a gente não tem.

Muita calma nessa hora, vamos dar um jeitinho nisso.

Passo 3

Para encontrarmos o tempo t T vamos analisar o movimento vertical, se a gente pensar na subida poderemos ver pela equação da velocidade quem é esse cara:

v y = v 0 y - g t s u b

Onde

t s u b = t T 2

Já que o movimento completo leva em consideração subida e descida. Aqui sabemos também que na altura máxima a velocidade final na vertical é v y = 0 e então a equação fica:

0 = v 0 y - g t T 2

Rearrumando temos então o querido tempo!

2 v y g = 2 v 0 s e n θ g = t T

Agora é só voltar na nossa equação antiga e substituir essa galera aí:

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = t T

v 0 2 g s e n 2 θ cos ⁡ θ = 2 v 0 s e n θ g

Daí pegue a tesoura pois cortaremos muita gente por aqui hehe!

Cortando v 0 e g   de ambos os lados e também o s e n 2 ( θ ) que passará a ser s e n ( θ ) , temos:

s e n θ cos ⁡ θ = 4

E se liga aí, essa relação que temos é a tangente!

t g θ = 4

Agora é só inverter e já era:

θ = a r c t g 4 = 75,96 °

Resposta

θ = 75,96 °

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