Um projétil é lançado por um canhão para atingir um alvo a uma distância d , situada à mesma altura, com velocidade inicial v 0 . Um míssil balístico defensivo é lançado a partir do alvo, também a velocidade v 0 , quando o projétil atinge a sua altura máxima. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade como g . Considere o míssil também em queda livre e tome o instante t = 0 quando o míssil é lançado.

a ) Calcule a altura máxima atingida pelo projétil.

b ) Supondo que o ângulo de lançamento do míssil defensivo é suplementar ao de lançamento do projétil, determine esse ângulo em termos das quantidades dadas no enunciado.

Passo 1

a )

Primeiramente temos que decompor a velocidade nos eixos x e y :

v x = v 0 . cos ⁡ θ

v y = v 0 . sen ⁡ θ

Sabemos que na altura máxima o v y será igual a zero. Então podemos Utilizar a fórmula:

v y f 2 = v y i 2 - 2 g ∆ h

Substituindo teremos:

0 = v 0 . sen ⁡ θ 2 - 2 g h m á x

h m á x = v 0 2 2 g sen 2 ⁡ θ

Passo 2

b )

Vamos desenhar a situação descrita:

O problema nos informa que θ é suplementar à ϕ , ou seja, a soma dos dois é igual a π radianos:

θ = π - ϕ

Decompondo v 0 nos eixos x e y , temos:

v x = v 0 . cos ⁡ 180 - ϕ

v x = - v 0 . c o s ϕ ⁡

v y = v 0 . sen ⁡ 180 - ϕ

v y = v 0 . s e n ϕ

Sabemos que o alcance do projétil tem que ser d , ele pode ser dado por:

d = v x . t

d = v 0 . cos ⁡ ϕ . t

Onde t é o tempo que o projétil leva para retornar ao solo, esse tempo pode ser calculado por:

h = h 0 + v 0 y . t - g t 2 2

Onde h = h 0 = 0 .

0 = 0 + v 0 . sen ⁡ ( ϕ ) . t - g t 2 2

Isolando o t :

t v 0 . sen ⁡ ϕ - g t 2 = 0

Temos que:

v 0 . sen ⁡ ϕ - g t 2 = 0

t = 2 v 0 . sen ⁡ ϕ g

Substituindo na expressão que encontramos anteriormente:

d = v 0 . cos ⁡ ϕ . t

d = v 0 . cos ⁡ ϕ . 2 v 0 . sen ⁡ ϕ g

Que pode ser escrita como:

2 sen ⁡ ( ϕ ) cos ⁡ ( ϕ ) = g d v 0 2

Lembrando-se da relação de duplicação de arcos:

sen ⁡ 2 ϕ = 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ

Substituindo:

sen ⁡ 2 ϕ = g d v 0 2

2 ϕ = arcsin ⁡ g d v 0 2

ϕ = 1 2   arcsin ⁡ g d v 0 2

Logo, como

θ = π - ϕ

Temos:

θ = π - 1 2   arcsin ⁡ g d v 0 2

Resposta

a )   h m á x = v 0 2 2 g sen 2 ⁡ θ

b )   θ = π - 1 2   arcsin ⁡ g d v 0 2

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