Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5   m / s e um ângulo para cima de 45 ° . No mesmo instante um jogador a 55   m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade média para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?

Passo 1

O problema quer saber qual deve ser a velocidade do jogador para que ele alcance a bola. Para determinarmos a velocidade do jogador precisamos saber o quanto ele vai correr, ou seja, o alcance da bola e quanto tempo ele vai correr que seria o tempo de voo da bola.

Como ainda não sabemos o alcance da bola o jogador pode estar dentro desse alcance e aí ele teria que correr no sentido da bola. Ou fora do alcance e aí sua velocidade apontara para o sentido oposto. Como não temos o tempo percorrido vamos inicialmente adotar a hipótese do jogador fora do alcance da bola, só pra gente fazer um desenho.

A partir daí vamos calcular o tempo de voo da bola e com isso o alcance, pra enfim definirmos a velocidade do jogador.

Passo 2

Pra calcularmos o tempo de voo vamos analisar apenas o movimento vertical da bola, pra isso a gente precisa decompor a velocidade na componente vertical.

v y = v 0 s e n θ = 19,5 s e n 45

v y = 13,8 m / s

Agora a gente pode usar a equação da velocidade, vamos analisar a subida da bola e para ela a equação fica:

v = v y - g t

Quando a bola sobe ela vai perdendo velocidade por causa da gravidade e atinge v = 0 no ponto máximo, sendo assim:

0 = v y - g t

v y = g t

Substituindo v y = 13,78 m / s e g = 10 m / s 2 , temos o tempo:

t = v y g = 13,8 10 = 1,38 s

E não podemos esquecer que o tempo de subida é só metade do tempo do movimento, temos que usar o tempo total que é o dobro desse aqui pra analisar o alcance.

t t o t a l = 2 t = 2,76 s

Passo 3

Vamos agora calcular o alcance da bola, no eixo x não temos aceleração e por isso o alcance é dado por:

∆ x = v x t t o t a l

E lembrando que a velocidade em x é:

v x = v 0 cos ⁡ θ

v x = 19,5 cos ⁡ 45 = 13,8 m / s

Então o alcance fica:

∆ x = 13,8 × 2,76 = 38 m

Então o nosso desenho estava certinho, o jogador está a 55 metros da bola e precisa correr na direção oposta.

Passo 4

Agora que temos tudo basta substituir na equação da posição do movimento uniforme para descobrirmos a velocidade do jogador

S = S 0 + v 1 t  

38 = 55 + 2,76 v 1

v 1 = - 17 2,76

v 1 = - 6,16   m / s

A velocidade negativa significa que o jogador correrá no sentido oposto do movimento da bola e portanto a hipótese que adotamos estava correta pro movimento.

Resposta

v 1 = - 6,16   m / s

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