Um projétil é lançado a partir da posição inicial x 0 , y 0 = 0   m ,   0   m , no solo, com velocidade escalar inicial v 0 = 20,0   m / s . O instante inicial é tomado como t = 0,0   s , o solo em toda a região é horizontal e coincide com o eixo x , e a aceleração da gravidade é dada por g = 10   m / s 2 . O projétil toca novamente o solo em D = 40,0   m . Considere os eixos x y como horizontal e vertical respectivamente.

a) Dado que o ângulo θ 0 de lançamento com a horizontal foi 45 ° , encontre a equação da trajetória y = y x descrita pelo projétil durante seu movimento até atingir o solo.

b) Encontre o tempo t s que o projétil leva para atingir o solo. Encontre também o ângulo α que o vetor velocidade faz com a horizontal ao atingir o solo.

c) No ponto mais alto da trajetória, o vetor velocidade do projétil faz um ângulo de 0 ° com a horizontal. Calcule, para este instante, o raio de curvatura R da trajetória. (Dica: pense na aceleração centrípeta, que é a componente da aceleração perpendicular à velocidade.)

Passo 1

a)

Para o eixo x vale a equação que determina o alcance:

x = x 0 + v 0 x . t

x = 20   . cos ⁡ 45 °   . t

x = 20   . 2 2 . t

t = x 10 2

Agora, para o eixo y , utilizamos nossa velha equação:

y = y 0 + v 0 y . t - g t 2 2

y = 20   . sen ⁡ 45 °   .   t - 10 t 2 2

Substituindo o tempo que encontramos para deixar em função de x :

y x = 20   . 2 2 . x 10 2 - 5 x 10 2 2

y x = x - x 2 40

Passo 2

b)

Utilizando, para o eixo x , a equação do alcance:

x = x 0 + v 0 x . t s

D = v 0 cos ⁡ 45 ° . t s

Substituindo os dados:

40 = 20   . 2 2 . t s

t s = 4 2 = 2 2   s

Como se trata de um lançamento oblíquo, sabemos que o ângulo com que o projétil foi disparado é o mesmo com que ele retorna ao solo, ou seja, α = 45 ° .

Passo 3

c)

Vamos seguir a dica do enunciado. A aceleração centrípeta é aquela que aponta para o centro da curva. Logo, para esse instante em específico, a aceleração centrípeta nada mais é que a aceleração da gravidade. Sendo assim, podemos aplicar a fórmula:

a c p = v 2 R

Sendo que como a componente y da velocidade é nula neste ponto, temos apenas a componente x da velocidade, que já calculamos anteriormente como: v x = 20 cos ⁡ 45 ° = 10 2 . Substituindo:

10 = 10 2 2 R

R = 20   m

Resposta

a) y x = x - x 2 40

b) t s = 2 2   s ; α = 45 ° .

c) R = 20   m

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