4 – Um projétil de massa m = 20 k g é lançado com um ângulo θ = 30 ° com a horizontal, como mostra a figura, com velocidade inicial v 0 = 10 m / s .

a) calcule o módulo do torque realizado pela gravidade sobre a bola de canhão, em relação ao ponto de lançamento O , em t = 0,5 s .

b) Qual a direção e sentido do torque nesse instante?

c) Calcule o momento angular da bala de canhão em relação ao ponto O , nesse mesmo instante.

d) Qual a direção e sentido do momento angular nesse instante?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Temos a seguinte situação nesse problema: temos um canhão carregado que está inclinado a 30 ° da horizontal. O projétil que é lançado tem massa m = 20 k g e o modulo da velocidade inicial é 10 m / s .

Diante disso, temos que descobrir qual é o modulo do torque que a força gravitacional faz com o projétil em relação ao canhão no instante t = 0,5 s . Também queremos saber qual é a direção e sentido desse torque.

Além disso, queremos calcular o módulo do momento linear do projétil nesse mesmo instante e sua direção e sentido.

Bastante coisa, não é? Como podemos fazer isso? 🤔

Observamos que esse é um movimento balístico e nesse tipo de movimento, o objeto faz um movimento uniforme na componente do eixo x e um movimento acelerado na componente do eixo y .

Com isso, vamos encontrar a velocidade inicial em v 0 x e v 0 y para descobrir como o projétil se comporta em t = 0,5 s

E assim calculamos seu o torque e o momento angular!

Preparado? Bora! 😉

Passo 2

Por analise vetorial, vamos obter a velocidade inicial em cada componente.

O ângulo que o vetor v 0 faz com a horizontal é 30 ° então se o cosseno de um ângulo é dado pela razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa e o seno pela razão entre o cateto oposto sobre a hipotenusa, temos que

cos ⁡ 30 ° = v 0 x v 0 → v 0 x = v 0 cos ⁡ 30 °

s e n 30 ° = v 0 y v 0 → v 0 y = v 0 s e n 30 °

Se v 0 foi dado como 10 m / s , então

v 0 x = 10 cos ⁡ 30 ° v 0 y = 10 s e n 30 ° → v 0 x = 10 3 2 v 0 y = 10 1 2

v 0 x = 5 3 m / s v 0 y = 5 m / s

Como em x a velocidade é constante, durante todo o trajeto a velocidade v x = v 0 x

Já a velocidade em y no instante t = 0,5 s , vamos usar a fórmula do voat, conhece?

v y = v 0 y + a t

No caso, a aceleração a   é a aceleração gravitacional que aponta para baixo, portanto, a = - 10 m / s 2

v y = 5 - 10 · 0,5 = 5 - 5

v y = 0 m / s

Assim vemos que no instante t = 0,5 s o projétil está em seu ponto máximo e sua velocidade em y é nula.

Entendeu essa parte? 👀

Passo 3

Agora temos que descobrir qual é a distância do projétil até o ponto de partida. Pra isso vamos usar a fórmula do sorvete e do sorvetão, conhece?

S x = S 0 x + v x t

S y = S 0 y + v 0 y t + a t 2 2

Primeiro com ralação a x temos que S x é o valor que estamos procurando. S 0 x é o valor x inicial, ou seja, S 0 x = 0 m . v x é 5 3 m / s e t = 0,5 s

S x = 0 + 5 3 · 0,5

S x = 5 3 2 m

Agora com relação a y temos que S y é o valor que vamos encontrar, S 0 y é o valor inicial em y S 0 y = 0 m , v 0 y calculamos como 5 m / s , a é a aceleração gravitacional - 10 m / s 2 e t = 0,5 s .

S y = 0 + 5 · 0,5 - 10 0,5 2 2

S y = 5 2 - 5 4

S y = 5 4 m

Então no ponto mais alto a distância do ponto de partida é dada por

Agora vamos montar o vetor S → que é dado pelas componentes de cada eixo

S → = S x i + S y j

S → = 5 3 2 i + 5 4 j

E essa é a distância do projétil até o ponto O !

Bacana, não é? 😎

Passo 4

E finalmente vamos obter o torque que a força gravitacional faz no projétil em relação ao ponto O .

O torque é calculado como

T → = S → × F →

Mas que força é essa?

Se a força é a massa multiplicada pela aceleração, então

F → = m a →

F → = 20 · - 20 j

F → = - 400 j

Substituindo em T →

T → = 5 3 2 i + 5 4 j × - 400 j

Calculando esse produto vetorial pelo método do determinante, temos

T → = i j k 5 3 2 5 4 0 0 - 400 0

T → = 0 i + 0 j + 5 3 2 · - 400 k

T → = - 1000 3 k

Então, para o item a) podemos obter que o valor absoluto do torque é dado por

T → = 1000 3 N m

Já no item b) temos que dizer qual é a direção e o sentido do torque.

Como obtemos no vetor torque que calculamos, o torque aponta para o sentido negativo do eixo z .

Está acompanhando? 👀

Passo 5

Agora nosso objetivo está obter o momento angular do projétil no instante t = 0,5 s !

O momento angular é dado pela fórmula

L → = S → × m v →

S → já temos, m já temos e v → podemos obter dado que temos as componentes da velocidade nesse instante

v → = v x i + v y j

Como v x = 5 3 m / s e v y = 0 m / s nesse momento, então

v → = 5 3 i

Substituindo S → , m e v → em L → , temos

L → = 5 3 2 i + 5 4 j × 20 · 5 3 i

L → = 5 3 2 i + 5 4 j × 100 3 i

Pelo método do determinante...

L → = i j k 5 3 2 5 4 0 100 3 0 0

L → = 0 i + 0 j + - 100 3 · 5 4 k

L → = - 1 25 3 k

Fazendo a mesma análise que fizemos anteriormente para responder a letra c), temos que o valor absoluto de L → é dado por

L → = 125 3   k g · m 2 / s

E analisando o vetor, vemos que aponta para o mesmo sentido e direção do torque, sentido negativo do eixo z .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a) T → = 1000 3 N m

b) Sentido negativo do eixo z

c) L → = 125 3   k g · m 2 / s

d) Sentido negativo do eixo z

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que o ângulo inicial α 0 da Figura 3.26 seja 42,0 ° e que d seja igual a 3,0 m. Onde o dardo e o macaco se encontrarão, se a velocidade inicial do dardo for a) 12,0 m/s? b) 8,0 m/s?c) O que oc
Galileu mostrou que, se os efeitos da resistência do ar são ignorados, os alcances de projéteis (no mesmo nível) cujos ângulos de projeção diferem de 45°, para mais e para menos, do mesmo valor, são i
Em 1939 ou 1940 , Emanuel Zacchini levou seu número de bala humana a novas alturas: disparado por um canhão, passou por cima de três rodas-gigante antes de cair em uma rede (Fig.4-39). (a) Tratando Za
Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de chegarem a uma encosta descendente. Considere um salto no qual a velocidade inicial é v 0 =10m / s , o ângulo é θ 0 =9,0 ° , a pista a
Cortina da morte. Um grande asteroide metálico colide com a Terra e abre uma cratera no material rochoso abaixo do solo, lançando pedras para o alto. A tabela a seguir mostra cinco pares de velocidade