Dois projéteis 1 e 2 são lançados simultaneamente e horizontalmente de alturas h 1 e h 2 (diferentes) em relação ao solo. Verifica-se que ambos atingem o mesmo ponto C no solo e têm o mesmo alcance A 1 = A 2 = A . A razão v 1 / v 2 entre os módulos v 1 e v 2 das velocidades de lançamento dos respectivos projéteis 1 e 2 é

(a) h 1 / h 2

(b) h 2 / h 1

(c) h 1 / h 2

(d) h 2 / h 1

(e) h 2 / 2 h 1

Passo 1

Pra resolver esse problema, vamos ter que começar escrevendo as equações do movimento das partículas. Vamos considerar a aceleração das partículas como sendo a aceleração da gravidade g . Como ela aponta pra baixo, vou usar - g , beleza?

Passo 2

Começando pelo movimento do projétil 2 no eixo vertical (eixo Z ). Ele sai de uma altura h 2 , com velocidade vertical nula, e sob a aceleração da gravidade - g .

Então as equações do seu movimento no eixo vertical são:

a 2 z t = - g

v 2 z t = - g t

r 2 z t = - g t 2 2 + h 2

Passo 3

Já no eixo X , o projétil sai da posição r 20 = 0 com velocidade inicial de módulo v 2 (apontando pra direita), e não tem aceleração, então suas equações horárias são:

a 2 x t = 0

v 2 x t = v 2

r 2 x t = v 2 t

Passo 4

Beleza, agora vamos dar uma olhada no projétil 1.

Seu movimento no eixo Z é quase o mesmo que pro projétil 2, a única diferença é que ele sai de uma altura h 1 :

a 1 z t = - g

v 1 z t = - g t

r 1 z t = - g t 2 2 + h 1

Passo 5

Já no eixo X , a coisa fica um pouco mais delicada, porque não sabemos qual é a posição inicial do projétil. Então vamos fazer o seguinte: vamos dizer que ele é lançado de cima do eixo Z e pra direita, que nem o projétil 2. Não vai fazer diferença porque o alcance dele vai ser o mesmo e ele vai cair no mesmo lugar, beleza?

E ele é lançado com velocidade de módulo v 1 , então temos:

a 1 x t = 0

v 1 x t = v 1

r 1 x t = v 1 t

Passo 6

Digamos que o projétil 2 chega no chão no tempo t 2 . Então, em t 2 , sua coordenada Z é nula!

Ou seja,

r 2 z t 2 = - g t 2 2 2 + h 2 = 0

⇒ g t 2 2 2 = h 2

⇒ t 2 2 = 2 h 2 g

⇒ t 2 = 2 h 2 g

Passo 7

E quando o projétil chega no chão, sua coordenada X é igual ao seu alcance A . Portanto, no tempo t 2 = 2 h 2 g , temos

r 2 x t 2 = v 2 t 2 = A

⇒ v 2 = A t 2

⇒ v 2 = A 2 h 2 g

Passo 8

Show! Agora vamos fazer a mesma coisa pro projétil 1, pra achar uma expressão de v 1 .

Chamando de t 1 o instante em que ele encosta no chão, temos:

r 1 z t 1 = - g t 1 2 2 + h 1 = 0

As contas são idênticas às que fizemos antes, só trocando t 2 e h 2 por t 1 e h 1 !

Então isso vai dar:

t 1 = 2 h 1 g

Passo 9

Da mesma forma, quando o projétil 1 chega no chão, sua coordenada X vale A , então:

r 1 x t 1 = v 1 t 1 = A

⇒ v 1 2 h 1 g = A

⇒ v 1 = A 2 h 1 g

Passo 10

Portanto, obtivemos:

v 2 = A 2 h 2 g v 1 = A 2 h 1 g

Passo 11

Então a razão v 1 / v 2 é:

v 1 v 2 = A 2 h 1 g A 2 h 2 g = A 2 g h 1 ∙ 2 g h 2 A

Dá pra cortar em cima e em baixo A 2 g   aí sobra:

v 1 v 2 = h 2 h 1 = h 2 h 1

Deu um trabalhão mas foi!

Resposta

Alternativa (d)

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