Na figura abaixo, o jogador precisa lançar a bola com um vetor velocidade inicial v 0 → correto (isto é, módulo, direção e sentido corretos) para conseguir acertar a cesta. O vetor v 0 → possui módulo v 0 e forma um ângulo α = 45 ° com a direção horizontal. O jogador está a uma distância horizontal d da cesta, lança a bola de uma altura h J = 2 d / 3 , e a cesta está a uma altura h c = d . Despreze a resistência do ar e efeitos devido à rotação da bola. Considere g = 10 m / s 2 , cos ⁡ 45 ° = s e n 45 ° = 2 / 2 .

a) Encontre uma expressão para o valor do módulo v 0 de modo que a bola atinja a cesta.

b) Se d = 2,4 m , escreva os vetores velocidade e aceleração da bola no instante em que ela atinge a cesta.

c) Se pudermos variar o ângulo α e a velocidade inicial, determine geometricamente qual o critério adicional devemos considerar para que a bola entre na cesta, considerando que além de alcançá-la a bola deverá necessariamente estar na descendente.

Passo 1

Pra começar vamos escrever a equação do movimento de cada eixo: x   e y .

Vamos considerar o eixo x orientado para a esquerda e o eixo y orientado para cima.

Pra velocidade inicial em cada eixo, vamos ter:

V x = V 0 cos ⁡ a = V 0 2 2

V y = V 0 s e n a = V 0 2 2

No eixo x , não vamos ter aceleração nenhuma. No eixo y , a aceleração vai ser a própria gravidade.

Sendo assim, cada equação de posição da bola fica:

y = V 0 2 2 t - g t 2 2

x = V 0 2 2 t

Reparem que nessa equação eu considerei a altura que ele vai partir como se fosse 0 , ok? Então tem que tomar cuidado na hora que for escrever a altura!

Passo 2

Letra a)

Se ele deu pra gente o valor de x   e y em um mesmo instante, ficamos com duas incógnitas: t   e   V 0 .

Como queremos o V 0 , vamos isolar o t e substituir na equação de y :

x = V 0 2 2 t = d

t = d 2 V 0

Substituindo na equação de y , vamos ficar com isso aqui:

y = ( d - 2 d 3 ) = V 0 2 2 t - g t 2 2

d 3 = d - g d 2 V 0 2

Isolando o nosso V 0 :

V 0 = 3 g d 2

Passo 3

Letra b)

Primeramente, vamos calcular esse V 0 pra sabermos o módulo da velocidade inicial:

V 0 = 3 g d 2

V 0 = 3 6 = 6   m / s

Agora, precisamos do tempo que a bola atinge a cesta, fechou?

Vamos usar a equação no eixo x   que é bem mais fácil, já que não envolve aceleração nem nada.

x = V 0 cos ⁡ a t

t = x V 0 cos ⁡ a

Como sabemos o valor de x , V 0 e o valor do cos ⁡ a , quando substituímos, ficamos com:

t = 2,4 6 . 2 2 = 0,4 2

Agora, vamos calcular as componentes do vetor velocidade. Vamos dividir em duas partes como sempre: x   e   y .

Eixo x :

Como não tem aceleração, a velocidade vai ser sempre constante:

V x = v 0 cos ⁡ a = 6 2 2 = 3 2   m / s  

Eixo y :

Já no eixo y vamos ter que usar a equação da velocidade, porque temos a aceleração negativa da gravidade:

V y = v 0 s e n a - g t

V y = 6 2 2 - 10 ( 0,4 2 )

V y = - 2   m / s

O vetor velocidade é dado por:

V → = 3 2 i ^ - 2 j ^

O vetor aceleração continua sempre sendo:

g → = - 10 j ^

Passo 4

Letra c)

Bom, primeiro vamos achar a relação para o movimento ser descendente com o ângulo do lançamento, ok?

Sabemos que o movimento é descendente quando a velocidade de y , passa a ser negativa. Ou seja, precisamos saber o ponto que a velocidade muda de sentido.

V 0 s e n α - g t < 0

t > V 0 s e n α g

Como sabemos que a cesta está a uma distância d do lançamento, podemos fazer uma relação com d também.

d = V 0 cos ⁡ α t

t = d V 0 cos ⁡ α > V 0 s e n α g

d > V 0 s e n α V 0 cos ⁡ α g = V 0 2 s e n 2 α 2 g

Ou seja:

2 g d > V 0 2 s e n ( 2 α )

Resposta

a) V 0 = 3 g d 2

b) V → = 3 2 i ^ - 2 j ^ ; g → = - 10 j ^ .

c) 2 g d > V 0 2 s e n ( 2 α )

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