(inspirada no 2° testinho) Uma partícula é lançada do solo com velocidade de módulo 20   m / s , fazendo um ângulo θ com a horizontal, tal que s e n θ = 0,8 e cos ⁡ θ = 0,6 . Após 2   s , a partícula colide com o ponto A da figura abaixo. Despreze a resistência do ar e

considere g   =   10   m / s 2 .

(a) Qual é a altura H do ponto A em relação ao ponto de partida?

(b) Determine o vetor velocidade da partícula imediatamente antes da colisão com o ponto

A.

Passo 1

Temos um lançamento oblíquo, de inclinação θ . No instante 2   s , a partícula chega no ponto A, onde ela colide.

Queremos saber a altura H do ponto A e também a velocidade da partícula logo antes da colisão.

Passo 2

(a) Qual é a altura H do ponto A em relação ao ponto de partida?

Vamos analisar separadamente o movimento vertical e horizontal.

Para isso, vamos achar as componentes da velocidade inicial v 0 = 20   m / s .

Temos que os módulos das velocidades v → x e v → y no instante inicial são:

v x 0 = v 0 c o s θ v y 0 = v 0 s e n θ

Para achar a altura H , vamos olhar primeiro o movimento vertical, que é um movimento uniformemente variado:

S y = S y 0 + v 0 t + a t 2 2

A posição inicial S y 0 é zero, a velocidade inicial é v y 0 e a aceleração da gravidade é g no sentido contrário da velocidade:

S y = v y 0 t - g t 2 2

S y = v 0 s e n θ . t - g t 2 2

Se a partícula leva 2   s para chegar em A, basta nós substituirmos t = 2   s :

H = v 0 s e n θ 2 - g 2 2 2

H = 2 v 0 s e n θ - 2 g

Temos que v 0 = 20   m / s , s e n θ = 0,8 e g = 10   m / s 2 :

H = 2 20 0,8 - 2 10

H = 12   m

Então, achamos que a altura H do ponto A é 12   m .

Passo 3

(b) Determine o vetor velocidade da partícula imediatamente antes da colisão com o ponto

A.

Estamos trabalhando com as componentes x e y da velocidade.

Para achar a velocidade no ponto A, basta calcularmos cada uma dessas componentes.

Componente em x :

Na horizontal, a partícula realiza um movimento uniforme, logo, sua velocidade em todo o trajeto será igual à sua velocidade inicial v x :

v x = v 0 c o s θ

v x = 20 0,6

v x = 12   m / s

Componente em y :

Podemos calcular sua velocidade vertical em A com:

v = v 0 + a t

v y = v y 0 - g t

A velocidade inicial v y 0 é:

v y 0 = v 0 s e n θ

v y 0 = 20 0,8 = 16   m / s

Sendo que no ponto A, o instante é t = 2   s , logo:

v y = 16 - 10 2

v y = - 4   m / s  

Já que achamos uma velocidade negativa, significa que essa componente aponta para baixo.

Então, é só juntarmos as duas componentes e temos a velocidade v → :

v → = v x   i ^ + v y   j ^

v → = 12   i ^ - 4   j ^   m / s  

Resposta

(a) H = 12   m

(b) v → = 12   i ^ - 4   j ^   m / s

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