Um canhão, posicionado sobre um terreno completamente plano, dispara um projétil com um velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s fazendo um ângulo de 60 ° com a horizontal. Considerando a posição incial do canhão como origem do sistema de coordenadas e a aceleração da gravidade g = 10,0   m / s 2 determine:

a O tempo total de voo do projétil.

b O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge sua altura máxima.

c O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo.

d Considere agora que o projétil deva atingir um alvo que está a uma distância de 500   m do canhão. Qual deve ser o ângulo de tiro para que o projétil com velocidade inicial de módulo v 0 = 100   m / s possa atingir o alvo?

Passo 1

a   Para calcular o tempo de voo, basta aplicar a equação de tempo de voo

t f = 2 . v o . s e n θ g

Substituindo os valores que temos no enunciado

t f = 2.100 . s e n 60 ° 10

t f = 20 . 3 2

t f = 10 3 ≈ 17,3   s

Passo 2

b   A componente y do vetor posição será a altura máxima, certo? E pela simetria de um lançamento oblíquo podemos dizer que quando o projétil está na altura máxima a componente x da posição éa metade do alcance, lembra?

Então vamos primeiro encontrar a altura máxima, sua fórmula é:

h m á x = v 0 2 . s e n 2 θ 2 g

h m á x = 100 2 . s e n 2 60 ° 2.10

h m á x = 500.3 4

h m á x = 375  

Passo 3

Só falta achar o alcance, e faremos isso usando a equação pro alcance que aprendemos

A = v 0 2 s e n 2 . θ g

A = 100 2 s e n 2 . 60 ° 10

A = 1000 . 3 2

A = 866,02   m

Como nossa componente em x é metade do alcance, temos que

r x = A 2

r x = 433   m

Agora que temos nossa componente em y ( h m á x ) e nossa componente em x   r x , podemos escrever o vetor posição.

r → = 433 . i ^ + 375 . j ^   m

.

Passo 4

c O problema que o vetor velocidade no final do movimento, sabemos que durante qualquer instante do movimento v x permanece constante. Já v y varia durante todos os instantes, mas no final do movimento temos que v y f = - v y 0

Primeiro vamos achar v x decompondo a velocidade, usando a regra do COlado/Separado

v x = 100 . cos ⁡ 60 °

v x = 100 . 1 2

v x = 50   m / s

Agora calcularemos v y 0   usando a mesma regra

v y 0 = 100 . s e n 60 °

v y 0 = 86,6   m / s  

Como vimos que no final a velocidade em y é

v y f = - v y 0

v y 0 = - 86,6   m / s

v → = [ 50   . i ^ - 86,6 . j ^ ]   m / s

Passo 5

d Nesse item nós foi dado o alcance desejado e o problema quer sabe que ângulo θ fará com que alcancemos essa distância de 500   m

Basta aplicarmos a equação do alcance e termos

500 = 100 2 10 .   s e n 2 θ  

s e n 2 θ = 0,5  

2 θ = a r c s e n 0,5

Fazendo isso vamos encontrar dois valores para θ

2 θ = 30 °   o u   150 °

θ = 15 °   o u   75 °

Resposta

a t = 10 3 ≈ 17,3   s

b   r → = 433 . i ^ + 375 . j ^   m

c v → = [ 50   . i ^ - 86,6 . j ^ ]   m / s

d θ = 15 °   o u   75 °

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