Um cineasta filma a erupção de um vulcão e, num certo instante, ele registra um bloco sendo arremessado fazendo um ângulo θ com a horizontal, partindo da boca do vulcão de uma altura H a partir do solo. Ele acompanha o movimento do bloco e o filma batendo no solo, como na figura, um tempo T após ser lançado. Desprezando a resistência do ar,

  1. Calcule a distância horizontal D que o bloco percorreu do instante em que foi arremessado da boca do vulcão até o momento que se chocou com o solo, em função de g ,   H ,   θ e T .

Passo 1

Oi, tudo bem?

D .

Esse corpo leva um tempo T para atingir o chão, ou seja, durante esse tempo é que ela atinge o maior alcance horizontal, então é essa a informação chave que vamos usar!

Relembrando das equações de movimento para a componente x (isso porque queremos saber D = x - x 0 , que está na direção horizontal)

x = x 0 + V 0 x t

E ideia para resolver questões de cinemática é comparar os dados que temos com as equações! Nesse caso só temos uma equação, pois em relação ao movimento horizontal, a bolinha apresenta um MRU!

Isso sem esquecer que a velocidade inicial pode ser decomposta em componente vertical e horizontal:

Vemos que a componente vertical aponta para cima! Então a velocidade inicial em y é positiva! Já a componente horizontal aponta para a direita, e assumimos que esse é o sentido positivo.

tranquilo até aqui? Vamos começar?

Passo 2

Do passo anterior temos a velocidade inicial (na direção de x ) que a bolinha tem:

V 0 x = V 0 c o s θ

E ele mantém essa velocidade durante toda trajetória, já que na horizontal não há aceleração! Então a distância que o bloco percorre horizontalmente é proporcional ao tempo transcorrido e a velocidade!

No item anterior dessa questão foi pedido para calcular o módulo da velocidade inicial do bloco V 0 :

V 0 = 1 T s e n θ g T 2 2 - H

Essa velocidade foi determinada a partir da equação horária do movimento em y , usando a condição inicial de que y 0 = H e V 0 y = V 0 s e n θ , que o bloco leva um tempo T para atingir o chão y = 0 e jogamos tudo isso na equação y = y 0 + V 0 y T - g t 2 / 2 .

A ideia agora é relacionar essa velocidade com a equação do MRU para a distância percorrida

Passo 3

T para atingir o chão, é durante esse tempo que ele também se desloca na horizontal

A distância percorrida D , quando a bolinha tem uma velocidade V 0 x durante o tempo T é dada pela única equação do MRU:

x = x 0 + V 0 x t

Não queremos saber as posições, mas sim o alcance, então D = x - x 0 ! Agora substituindo a velocidade e o tempo temos D :

D = x - x 0 = V 0 x T = V 0 T c o s θ

Agora substituindo a velocidade inicial

V 0 = 1 T s e n θ g T 2 2 - H

Temos o valor de D :

D = 1 T s e n θ g T 2 2 - H . T c o s θ

Podemos simplificar T e transformar c o s θ s e n θ = c o t g θ , aí teremos a resposta mais simplificada:

D = g T 2 2 - H c o t g θ

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

D = g T 2 2 - H c o t g θ

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